La méthode Einstein-Brillouin-Keller (EBK), également appelée quantification EBK, est une approche semi-classique utilisée en mécanique quantique pour obtenir des résultats quantiques sans recourir à la résolution complète de l'équation de Schrödinger. Elle est particulièrement utile pour étudier les systèmes atomiques et moléculaires, offrant une introduction intuitive à la nature quantique de la matière. Elle doit son nom aux contributions d'Albert Einstein, Léon Brillouin et Joseph. B. Keller. La méthode EBK a été développée pour corriger les limites de la quantification de Bohr-Sommerfeld-Wilson, qui ne tenait pas compte des sauts de phase aux points de retournement classiques (caustiques) . Elle permet de reproduire exactement le spectre de l'oscillateur harmonique 3D, le modèle de la particule dans une boîte, et même la structure fine relativiste de l'atome d'hydrogène.

Contexte historique Le premier article d'Albert Einstein, publié en 1917, généralisait la quantification de Bohr-Sommerfeld dans le cadre de l'ancienne théorie des quanta. Einstein y soulignait également que la méthode n'était pas généralisable aux systèmes chaotiques. Cet article influença la thèse de Louis de Broglie en 1924 et la reformulation de la mécanique quantique par Erwin Schrödinger en termes d'équation de Schrödinger en 1926.

Une autre correction à la quantification de Bohr-Sommerfeld a été introduite par Léon Brillouin en 1926, qui a également introduit la même année l'approximation WKB. Le mathématicien Rudolf Ernest Langer a également introduit sa correction de Langer en 1937.

La formulation d'Einstein fut cependant largement ignorée jusqu'à sa redécouverte indépendante par Joseph Keller en 1958. A partir de l'approximation WKB, Keller a obtenu une équation qui introduisait une correction des sauts de phase caustiques aux points de retournement classiques. En 1972, le mathématicien Viktor Maslov a formalisé le concept en termes d'indices de Maslov.

C'est à Ian C. Percival qu'on doit le terme méthode d'Einstein-Brillouin-Keller car il a réintroduit l'article d'Einstein dans la communauté des physiciens en 1973.

En 1976-1977, Michael Berry et Michael Tabor ont dérivé une extension de la formule de la trace de Gutzwiller pour la densité d'états d'un système intégrable à partir de la quantification EBK.

Formulation mathématique Étant donné un système classique séparable défini par des coordonnées conjuguées , dans lequel chaque paire décrit une fonction fermée ou périodique dans , la procédure EBK implique la quantification des intégrales de ligne de sur l'orbite fermée de :

où est la coordonnée action-angle, un entier positif, le nombre de points de retournement classiques dans la trajectoire de (la condition aux limites de Dirichlet ), et le nombre de réflexions avec une paroi rigide ( condition limite de Neumann ). Ensemble, et sont appelés les indices de Maslov, représentant la perte de phase totale pendant une période (en unités de π/2).

Exemples

Oscillateur harmonique unidimensionnel L'hamiltonien d'un oscillateur harmonique est donné par

où est la quantité de mouvement linéaire et la coordonnée de position. La variable d'action est donnée par

où l'énergie est et la trajectoire fermée est 4 fois plus longue que la trajectoire de 0 au point de retournement .

L'intégrale s'avère être proportionnelle à l'énergie E

,

qui, sous la quantification EBK, possède deux points de retournement dans chaque orbite notés et . Finalement, cela donne

,

ce qui correspond exactement aux niveaux d'énergie de l'oscillateur harmonique quantique.

Atome d'hydrogène planaire L'hamiltonien d'un électron non relativiste de charge électrique dans un atome d'hydrogène est :

où est l'impulsion canonique de la distance radiale , et est le moment canonique de l'angle azimutal . Si on prend les coordonnées action-angle pour la partie angulaire

et pour la partie radiale

nous intégrons les deux points de retournement classiques ( ) et calculons l'énergie totale

En utilisant la quantification EBK :

et en prenant , le spectre de l'atome d'hydrogène 2D est retrouvé :

Notons que dans ce cas coïncide presque avec la quantification usuelle de l'opérateur de moment angulaire sur le plan

Dans le cas 3D, la méthode EBK pour le moment angulaire total est équivalente à la correction de Langer. Cette méthode alternative en approximation WKB calcule les énergies des systèmes quantiques confinés dans une boîte sphérique rigide, en décomposant perturbativement le terme centrifuge selon l'approche de Hainz et Grabert. Elle étend ce formalisme à trois potentiels radiaux (oscillateur harmonique 3D, hydrogène, Hulthén) sous confinement à parois dures pour en tester la validité.

Voir aussi Équation de Hamilton-Jacobi Approximation WKB Chaos quantique

Références

Catégorie:Mécanique quantique