droite|vignette|Graphique de la fonction polynomiale (en vert) et graphique de sa cubique résolvante (en rouge). Les racines des deux polynômes sont également visibles. En algèbre, une cubique résolvante est l'un des nombreux polynômes cubiques distincts, bien que liés, définis à partir d'un polynôme quartique unitaire :
Dans chaque cas :
Les coefficients de la cubique résolvante peuvent être obtenus à partir des coefficients de en utilisant uniquement des sommes, des soustractions et des multiplications. La connaissance des zéros de la cubique résolvante de est utile pour trouver les zéros de elle-même. Ceci justifie le nom de « cubique résolvante ». Le polynôme a une racine multiple si et seulement si sa cubique résolvante a une racine multiple.
Définitions On suppose que les coefficients de appartiennent à un corps dont la caractéristique est différente de 2. Dès que les racines de sont mentionnées, elles seront supposées comme appartenant à une extension de telle que est développable en facteurs linéaires dans . Si est le corps des nombres rationnels, alors peut être le corps des nombres complexes ou le corps des nombres algébriques.
Dans certains cas, le concept de cubique résolvante n'est défini que lorsque est une quartique sous forme déprimée, c'est-à-dire dans le cas où .
On peut ajouter que les définitions 4 et 5 données plus bas sont toujours valables, ainsi que la relation entre ces deux cubiques résolvantes, dans le cas ou la caractéristique de est égale à 2.
Première définition On suppose que est une quartique déprimée, c'est-à-dire que Une définition possible de la cubique résolvante de est alors:
L'origine de cette définition réside dans l'application de la méthode de Ferrari pour trouver les racines de . Plus précisément :
En ajoutant une nouvelle inconnue, , au terme , il apparaît :
Si cette expression est un carré, il ne peut s'agir que du carré de
Mais l'égalité
est équivalent à
ce qui revient à l'équation = 0.
Si est une racine de , alors on déduit des calculs effectués ci-dessus que les racines de sont les racines du polynôme
ainsi que les racines du polynôme
Il est évident que le calcul n'a d'intérêt que si , mais puisque le terme constant de est , est une racine de si et seulement si , et dans ce cas les racines de peuvent être trouvées à l'aide de la formule quadratique classique.
Deuxième définition Une autre définition possible (en supposant toujours que est une quartique dépréciée) est
L'origine de cette définition est similaire à la précédente. Cette fois, on commence la réécriture par :
et un calcul similaire au précédent montre que cette dernière expression est un carré si et seulement si
Un simple calcul montre que cette seconde résultante est une version décalée de la première :
Troisième définition Une autre définition possible (en supposant encore une fois que est une quartique déprimée) est
L'origine de cette définition réside dans une autre méthode de résolution des équations quartiques, en l'occurrence la méthode de Descartes. Si on cherche à trouver les racines de en l'exprimant comme un produit de deux polynômes quadratiques unitaires et , alors
S'il existe une solution de ce système avec (car si , alors ceci est automatiquement vrai pour toute solution), le système précédent est équivalent à
Il découle des deux premières équations que…
Après avoir remplacé, dans la troisième équation, et par ces valeurs, on obtient que
Après avoir remplacé, dans la troisième équation, et par ces valeurs, on obtient l'égalité
Ceci équivaut à affirmer est une racine de . Ainsi, connaître les racines de permet de déterminer celles de .
Il existe encore un lien avec une cubique résolvante définie supra :
Quatrième définition Une autre définition possible est
En fait, si les racines de sont notées et alors
un fait découle des relations de Viète. En d'autres termes, R 4 ( y ) est le polynôme monique dont les racines sont , et .
Il est alors simple de voir les factorisations :
Par conséquent, possède une racine multiple si et seulement si possède une racine multiple. Plus précisément, et ont le même discriminant.
Si est un polynôme déprimé, alors
Cinquième définition Une autre définition est
Si, comme ci-dessus, les racines de et alors
ce qui se déduit encore une fois des relation de Viète. En d'autres termes, est le polynôme monique dont les racines sont , et .
Il est facile de voir que
Par conséquent, comme pour , possède une racine multiple si et seulement si possède une racine multiple. Plus précisément, et ont le même discriminant. Ceci se déduit directement du fait que = .
On peut remarquer que si est un polynôme déprimé, alors
Applications
Résolution d'équations quartiques Il a été expliqué plus haut comment , et peuvent être utilisés pour trouver les racines de si ce polynôme est déprimée. Dans le cas général, il suffit de trouver les racines du polynôme qui est dans une forme déprimée. Pour chaque racine de ce polynôme, est une racine de .
Factorisation des polynômes quartiques Si un polynôme quartique est réductible dans , alors il est soit le produit de deux polynômes quadratiques, soit le produit d'un polynôme linéaire par un polynôme cubique. Cette seconde possibilité se produit si et seulement si admet une racine dans . Afin de déterminer si peut être exprimé comme le produit de deux polynômes quadratiques, on suppose, par souci de simplicité, que est un polynôme déprimé. On a vu précédemment que si la cubique résolvante possède une racine non nulle de la forme pour un certain , alors une telle décomposition existe.
On peut utiliser ce résultat pour démontrer que, dans , tout polynôme quartique sans racines réelles peut s'exprimer comme le produit de deux polynômes quadratiques. Soit un tel polynôme. On peut supposer, sans perte de généralité, que est unitaire. On peut également supposer, toujours sans perte de généralité, qu'il s'agit d'un polynôme déprimé, car peut s'exprimer comme le produit de deux polynômes quadratiques si et seulement si peut et ce polynôme est un polynôme déprimé. Alors = . Il y a deux cas :
Si alors = Puisque si est suffisamment grand, alors, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, a une racine telle que Donc, on peut poser = . Si = , alors = . Les racines de ce polynôme sont et les racines du polynôme quadratique . Si , alors le produit des deux racines de ce polynôme est inférieur à et donc sa racine est supérieure à (qui se trouve être ) et on peut poser comme la racine carrée de cette racine. Sinon, et dans ce cas,
Plus généralement, si est un corps réel clos, alors tout polynôme quartique sans racines dans peut être exprimé comme le produit de deux polynômes quadratiques en . En effet, cette propriété peut être exprimée en logique du premier ordre et toute propriété valable pour l'est également pour tout corps réel clos.
Une approche similaire peut être utilisée pour obtenir un algorithme permettant de déterminer si un polynôme quartique est réductible et, si oui, comment l'exprimer comme un produit de polynômes de degré inférieur ? On supposera à nouveau que est monique et déprimé. est réductible si et seulement si au moins une des conditions suivantes est vérifiée :
Le polynôme admet une racine rationnelle (ceci peut être déterminé à l'aide d'une recherche de racine évidente). La cubique résolvante possède une racine de la forme , pour un certain nombre rationnel non nul (par la même méthode). Le nombre est le carré d'un nombre rationnel et = .
En effet:
Si possède une racine rationnelle , alors est le produit de et d'n polynôme cubique dans , qui peut être déterminé par division polynômiale ou par la méthode de Ruffini. S'il existe un nombre rationnel tel que soit une racine de , il a été montré supra comment exprimer comme le produit de deux polynômes quadratiques dans . Enfin, si la troisième condition est vérifiée et si est tel que =, alors = .
Groupes de Galois de polynômes quartiques irréductibles La cubique résolvante d'un polynôme quartique irréductible peut être utilisée pour déterminer son groupe de Galois ; c'est-à-dire le groupe de Galois du corps de décomposition de . Soit le degré sur du corps de décomposition de la cubique résolvante (il peut s'agir soit , soit ; ils ont le même corps de décomposition). Alors le groupe est un sous-groupe du groupe symétrique . Plus précisément:
Si (c'est-à-dire si le cubique résolvant se factorise en facteurs linéaires dans ), alors est le groupe }. Si (c'est-à-dire si la cubique résolvante a une et, à multiplicité près, une seule racine dans ), alors, afin de déterminer Soit un groupe cyclique d'ordre k. On peut déterminer si est toujours irréductible après avoir ajouté au corps les racines de la cubique résolvante. Si ce n'est pas le cas, alors est un groupe cyclique d' ordre k. 4 ; plus précisément, il s'agit de l'un des trois sous-groupes cycliques de par l'un quelconque de ses six -cycles. S'il est encore irréductible, alors est l'un des trois sous-groupes de de l'ordre , chacun étant isomorphe au groupe diédral d'ordre . Si , alors est le groupe alterné . Si , alors est le groupe entier .
Voir aussi
Références
Liens externes
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