En mathématiques, une matrice de Bézout (ou bézoutienne) est une matrice carrée particulière associée à deux polynômes, introduite par James Joseph Sylvester en 1853 et Arthur Cayley en 1857, et nommée d'après Étienne Bézout. Le terme « bézoutien » peut également désigner le déterminant de cette matrice, qui est égal au résultant des deux polynômes. Les matrices de Bézout sont parfois utilisées pour tester la stabilité d'un polynôme donné.

Définition Soient et deux polynômes complexes de degré au plus n ,

(On peut remarquer que tout coefficient ou peut être nul.)

La matrice de Bézout d'ordre n associée aux polynômes P et Q est

où les valeurs se déduisent de l'identité

Il s'agit d'une matrice complexe n × n, et ses éléments sont tels que si on pose et pour chaque , alors:

À chaque matrice de Bézout, on peut associer la forme bilinéaire suivante, appelée la bézoutienne :

Exemples

Pour n = 3, on a pour tous polynômes P et Q de degré (au plus) 3 :

On considère les deux polynômes et deux polynômes. Alors :

La dernière ligne et la dernière colonne sont toutes deux nulles car P et Q ont un degré strictement inférieur à 4. Les autres valeurs nulles s'expliquent par le fait que pour chaque , soit ou est nul.

Propriétés est une matrice symétrique ;

est une fonction bilinéaire ; est une matrice réelle si P et Q ont des coefficients réels ; est inversible si si et seulement si P et Q n'ont aucune racine commune. avec a pour déterminant le résultant de P et Q. Toute matrice de Bézout peut être réduite en une forme diagonale par blocs par une matrice de Vandermonde confluente .

Applications Une application importante des matrices de Bézout se trouve en théorie du contrôle. Pour le constater, on considère un polynôme complexe de degré n et on note q et p les polynômes réels tels que (avec y réel). On note également r le rang et σ la signature de . On peut alors montrer que :

a n − r racines communes avec son conjugué; les r racines restantes de sont situées de telle sorte que : ( r + σ )/2 d'entre eux se trouvent dans le demi-plan gauche ouvert, et ( r − σ )/2 se trouvent dans le demi-plan droit ouvert ; f est stable au sens de Hurwitz si et seulement si est définie positive.

La troisième proposition énonce une condition nécessaire et suffisante de stabilité. Par ailleurs, la première proposition présente des similitudes avec un résultat concernant les matrices de Sylvester, tandis que la seconde peut être reliée au théorème de Routh-Hurwitz.

Références

Catégorie:Matrice Catégorie:Polynôme