En théorie des catégories, une branche des mathématiques, le 2-lemme de Yoneda est une généralisation du lemme de Yoneda aux 2-catégories. Étant donné un pseudofoncteur contravariant sur une catégorie C, il statue: pour chaque objet en C, le foncteur naturel (évaluation à l'identité)

est une équivalence de catégories, où désigne (grossièrement) la catégorie des transformations naturelles entre pseudofoncteurs sur C et .

Selon la construction de Grothendieck, correspond à la catégorie virgule (comma category) . Le lemme est donc aussi souvent énoncé comme suit :

où est identifié à la catégorie fibrée associée à .

Et donc, le théorème de cohérence pour les bicatégories en est une conséquence.

Esquisse de preuve Premièrement on définit le foncteur dans la direction opposée

comme suit. Étant donné un objet dans , définissons la transformation naturelle

c'est-à-dire, par

(Dans ce qui suit, nous omettrons souvent l'indice de la transformation naturelle.) Ensuite, étant donné un morphisme dans , pour , soit donné par

Alors est un morphisme (un 2-morphisme pour être précis, ou une modification selon la terminologie de Bénabou). Le reste de la démonstration consiste alors à montrer

ci-dessus est un foncteur, , où est l'évaluation à l'identité ; c'est-à-dire,

Le point 1 est clair. Concernant le point 2,

où l'isomorphisme provient ici du fait que est un pseudofoncteur. De la même manière, Enfin pour le point 3, nous avons :

Et pareil pour un morphisme

∞-Yoneda Étant donné une ∞-catégorie C, soit Soit la ∞-catégorie des préfaisceaux à valeurs dans Kan = la ∞-catégorie des complexes de Kan . Alors, la version ∞ de l'immersion de Yoneda (Yoneda embedding) implique la prise d'un choix (bénin) de la manière suivante.

Premièrement, nous avons le foncteur hom

qui est caractérisée par une certaine propriété universelle (par exemple, la fibration gauche universelle) et qui est unique à isomorphisme unique près dans la catégorie d'homotopie Fixons un tel foncteur. On obtient alors le foncteur d'immersion de Yoneda de manière classique :

qui s'avère être parfaitement fidèle (c'est-à-dire une équivalence au niveau Hom). De plus, et plus fortement, pour chaque objet dans et objet dans , l'évaluation à l'identité (voir ci-dessous)

est inversible dans la catégorie ∞ des grands complexes de Kan (c'est-à-dire des complexes de Kan appartenant à un univers plus grand que celui donné). Ici, l'application d'évaluation fait référence à la composition

où la dernière flèche est la restriction à l'identité .

Le lemme ∞-Yoneda est étroitement lié à la question du redressement et du dé-redressement.

Notes et références

Voir aussi Bibliographie

https://math.stackexchange.com/questions/1293920/yoneda-lemma-for-2-categories-lax-version

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