En algèbre, le continuant est un polynôme à plusieurs variables défini par récurrence ou comme le déterminant d'une certaine matrice tridiagonale et qui est utile pour les fractions continues.
Définition Le n-ième continuant est défini par récurrence par
Propriétés
Le continuant peut être calculé en prenant la somme de tous les produits possibles de et en y supprimant un nombre quelconque de paires disjointes de termes consécutifs (règle d'Euler). Par exemple,
Il en résulte que les continuants sont invariants par inversion de l'ordre des indéterminées :
Le continuant peut être calculé comme le déterminant d'une matrice tridiagonale :
Par spécialisation, on trouve , le (n+1)-ième nombre de Fibonacci. En développant le déterminant par rapport à la première colonne, il vient : Les rapports de continuants successifs sont les (convergents de) fractions continues :
On a l'identité matricielle suivante :
En prenant le déterminant, il en résulte que
et que
Généralisations On peut étendre la définition du continuant en ajoutant des paramètres. Plus précisément, le n-ième continuant généralisé est un polynôme en variables défini par
.
En fait, comme les et les n'interviennent que sous la forme du produit , on peut sans perte de généralité supposer que les sont tous égaux à 1.
Le continuant généralisé peut également être défini comme le déterminant de la matrice tridiagonale
Dans le livre , le continuant généralisé est simplement appelé continuant.
Notes et références
Catégorie:Polynôme Catégorie:Matrice Catégorie:Fraction continue