La géométrie algébrique dérivée est une branche des mathématiques qui généralise la géométrie algébrique en remplaçant les anneaux commutatifs, qui fournissent les cartes locales, par des anneaux commutatifs simpliciaux, des algèbres différentielles graduées commutatives en caractéristique nulle, ou des -anneaux issus de la topologie algébrique pour la géométrie algébrique spectrale. Les groupes d'homotopie d'ordre supérieur de ces objets rendent compte du caractère non discret du faisceau structural, par exemple au moyen des groupes de Tor. En géométrie algébrique classique, la théorie des schémas de Grothendieck permet déjà au faisceau structural de contenir des éléments nilpotents. La géométrie algébrique dérivée peut être vue comme une extension de cette idée et fournit des cadres naturels pour la théorie de l'intersection, la théorie de l'homotopie motivique des variétés algébriques singulières, et pour l'étude des complexes cotangents en théorie de la déformation, entre autres applications..
Introduction
Les objets d'étude fondamentaux dans ce domaine sont les schémas dérivés et les champs dérivés. Une motivation souvent citée est la formule d'intersection de Serre. Dans sa formulation usuelle, cette formule fait intervenir le foncteur Tor ; par conséquent, à moins que les Tor supérieurs ne s'annulent, c'est-à-dire à moins que l'intersection soit transverse, alors l'intersection schématique, définie comme le produit fibré des immersions, ne donne pas le nombre d'intersection attendu. Dans le contexte des structures dérivées, on considère le produit tensoriel dérivé , dont les groupes d'homotopie supérieurs sont les Tor supérieurs, et dont le n'est plus un schéma ordinaire mais un schéma dérivé. Ainsi, le produit fibré dérivé permet d'obtenir le nombre d'intersection attendu sans hypothèse de transversalité..
Le terme « dérivé » est utilisé dans le même sens que dans les expressions « foncteur dérivé » et « catégorie dérivée », et la catégorie des anneaux commutatifs y est remplacée par une ∞-catégorie d'« anneaux dérivés ». En géométrie algébrique classique, la catégorie dérivée des faisceaux quasi cohérents donne une catégorie triangulée, tandis qu'en géométrie algébrique dérivée elle admet naturellement une ∞-catégorie stable, que l'on peut voir comme l'analogue ∞-catégorique d'une catégorie abélienne.
Définitions
La géométrie algébrique dérivée étudie des objets géométriques au moyen de l'algèbre homologique et de la théorie de l'homotopie. Puisque les objets de ce domaine doivent contenir des informations homologiques et homotopiques, et puisque ces informations peuvent être modélisées de plusieurs façons, il existe plusieurs formalismes permettant de représenter les espaces dérivés. Les objets d'étude fondamentaux sont les schémas dérivés et, plus généralement, les champs dérivés. Heuristiquement, les champs dérivés sont des foncteurs d'une certaine -catégorie d'anneaux dérivés vers l'-catégorie des -groupoïdes :
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qui vérifient de plus une condition de descente par rapport à une topologie de Grothendieck. De nombreux auteurs modélisent ces foncteurs comme des foncteurs à valeurs dans des ensembles simpliciaux, car ceux-ci modélisent les -groupoïdes et sont bien étudiés. Les différentes définitions des espaces dérivés dépendent du choix de la catégorie des anneaux dérivés et du modèle retenu pour les -groupoïdes. Parmi les exemples de choix d'anneaux dérivés, on peut citer les algèbres différentielles graduées commutatives en caractéristique nulle, les anneaux commutatifs simpliciaux en caractéristique quelconque, et les -anneaux dans le cadre de la géométrie algébrique spectrale.
Géométrie dérivée en caractéristique 0
En caractéristique nulle, plusieurs versions de la géométrie dérivée coïncident, car les catégories usuelles d'anneaux dérivés deviennent équivalentes dans ce cas. Par exemple, les anneaux simpliciaux de caractéristique nulle sont équivalents aux algèbres différentielles graduées commutatives sur . Par analogie avec les schémas en géométrie algébrique, on peut définir les schémas dérivés comme des paires , où est un espace topologique et est un faisceau d'algèbres différentielles commutatives graduées sur . Les auteurs notent parfois ces algèbres avec une graduation négative, de sorte que pour . La condition de faisceau peut aussi être affaiblie : pour un recouvrement ouvert de , les faisceaux peuvent ne se recoller sur les intersections qu'à quasi-isomorphisme près.
Géométrie dérivée en caractéristique arbitraire
En caractéristique arbitraire, les algèbres différentielles graduées se prêtent moins bien à la théorie de l'homotopie, notamment parce que .. Ce problème est résolu, dans ce contexte, en utilisant des algèbres simpliciales, qui possèdent de bonnes propriétés catégoriques. En particulier, la catégorie des anneaux commutatifs simpliciaux est enrichie simplicialement : ses ensembles de morphismes sont eux-mêmes des ensembles simpliciaux. De plus, il existe une structure de modèle canonique sur les anneaux commutatifs simpliciaux, induite par celle des ensembles simpliciaux.. Plus précisément, un théorème de Quillen montre que la structure de modèle sur les ensembles simpliciaux peut être étendue de manière canonique aux anneaux commutatifs simpliciaux.
Géométrie dérivée spectrale
Une autre branche de la géométrie algébrique dérivée est la théorie des schémas spectraux.. Heuristiquement, un schéma spectral est la donnée d'un -topos spectralement annelé et d'un faisceau de -anneaux sur cet -topos, sous réserve de certaines conditions de localité analogues à celles de la définition des schémas classiques. En particulier, les conditions suivantes doivent être vérifiées :
doit être équivalent à l'-topos des faisceaux en -groupoïdes sur un espace topologique ;
il doit exister un recouvrement ouvert de tel que les topos induits soient équivalents à des topos spectralement annelés , pour des -anneaux spectraux .
De plus, le schéma spectral est appelé connectif si pour .
Champs supérieurs
Un champ algébrique est dit représentable si certains produits fibrés associés sont représentables par des schémas. En partant de cette idée, on peut définir récursivement des champs supérieurs : si l'on définit un -champ comme étant un espace algébrique, alors un -champ est un objet dont les produits fibrés pertinents sont des -champs. Pour , cette nouvelle définition coïncide avec la définition usuelle d'un champ algébrique.
Applications
La géométrie algébrique dérivée a été utilisée par Kerz, Strunk et Tamme pour prouver la conjecture de Weibel sur l'annulation de la K-théorie négative.. La formulation de la conjecture géométrique de Langlands par Arinkin et Gaitsgory utilise la géométrie algébrique dérivée..
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Dérivateur
Bibliographie
Géométrie algébrique dérivée simpliciale
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Géométrie algébrique dérivée sur les algèbres différentielles graduées
Anneaux En et E∞
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Applications
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Liens externes
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