En analyse, une moyenne composée ou procédé gaussien est une moyenne construite à partir de deux autres moyennes par un processus itératif convergent.
Définition
On suppose et deux moyennes. On dit que et sont comparables si une des trois hypothèses suivantes est vérifiée:
Si et sont comparables, alors la moyenne composée , définie comme le résultat du processus itératif :
existe et est bien définie par :
Propriétés
Définition bien posée La moyenne composée existe si les deux moyennes et sont : intermédiaires : symétriques : strictes : Principe d'invariance La moyenne composée est l'unique moyenne vérifiant:
Exemples L'exemple le plus connu est la moyenne arithmético-géométrique, avec
ce qui donne classiquement
où désigne l'intégrale elliptique complète de première espèce.
Un autre exemple est la moyenne arithmético-harmonique, qui se résume à la moyenne géométrique, ce qui se déduit du principe d'invariance. C'est cette propriété qui est derrière la méthode de Héron pour l'extraction de racine carrée.
On peut aussi citer que, par définition de la moyenne contre-harmonique, la moyenne composée de la moyenne harmonique et de la moyenne contre-harmonique est la moyenne arithmétique.
On a aussi l'exemple du "logarithme de Carlson" : on pose les deux moyennes suivantes, basées sur les moyennes arithmétique et géométrique
alors la moyenne composée de ces deux moyennes est la moyenne logarithmique:
Si on prend comme la moyenne arithmétique et une moyenne quelconque, on a :
Histoire La moyenne arithmético-géométrique, étudié par Gauss, est le premier exemple historique de moyenne composée selon Lehmer, qui a étudié la convergence du calcul des moyennes composées, formées à partir des moyennes de Lehmer et les moyennes de Hölder.
Le nom de procédé gaussien permet également de ne pas confondre avec le procédé archimédien.
Références
Voir aussi Procédé archimédien
Catégorie:Moyenne Catégorie:Itération