La loi log-gamma sur l'intervalle [0,1] est une loi de probabilité continue à deux paramètres réels a et b supérieurs à 1. Elle est définie sur l'intervalle fermé [0,1] et peut être obtenue par transformation logarithmique d'une variable suivant une loi gamma.
Elle constitue un cas particulier de transformations exponentielles de variables gamma, et intervient naturellement dans l'étude des produits de variables aléatoires uniformes.
Définition
Une variable aléatoire X suit une loi log-gamma sur son support si sa densité est donnée par :
où désigne la fonction gamma d'Euler.
Condition de normalisation
On a :
ce qui assure que la fonction ci-dessus est une densité de probabilité pour a >= 1 et b >= 1.
Lien avec la loi gamma
Si :
alors la variable Y suit une loi gamma de paramètre de forme b et de taux a :
Réciproquement :
Fonction de répartition
La fonction de répartition s'écrit :
où est la fonction Gamma incomplète.
Moments
Pour tout réel r >= 0, le moment d'ordre r est :
Moments du logarithme
En posant L = ln X, on obtient :
Les cumulants de L sont donnés par :
Coefficients de forme
Les coefficients de skewness et d'excès de kurtosis de L = ln X sont :
Représentation probabiliste
Si U₁,…,U_b sont indépendantes et uniformes sur (0,1), alors pour b ∈ ℕ :
Simulation
Une variable de loi log-gamma peut être simulée par :
génération de Y ~ Γ(b,a), transformation X = e^{-Y}.
Cas particuliers
b = 1 : loi puissance a = 1 : densité log-uniforme généralisée a = b = 1 : loi uniforme sur (0,1)
Transformée de Mellin
Prolongements analytiques
L'expression reste définie pour tout b ∉ {0,-1,-2,…} via le prolongement analytique de la fonction Gamma, mais l'interprétation probabiliste impose a > 0 et b > 0.
Notes et références
Voir aussi Bibliographie NIST Digital Library of Mathematical Functions, Gamma Function Johnson, Kotz, Balakrishnan — Continuous Univariate Distributions Stacy, E. W. (1962), “A Generalization of the Gamma Distribution” Mathai, A. M. & Haubold, H. J. — Special Functions for Applied Scientists Springer – Gamma-related distributions
Articles connexes Loi gamma Loi exponentielle Transformation logarithmique Transformation de Mellin Produit de variables aléatoires
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