vignette|Le produit télescopique ressemble au déploiement d’un télescope, dans lequel les segments successifs s’emboîtent et disparaissent, ne laissant que les éléments extrêmes.
En analyse, un produit télescopique est un produit fini ou infini dont les facteurs, après transformation appropriée, se simplifient successivement par réduction télescopique, ne laissant que les termes initiaux et finaux.
On considère le plus souvent des produits de la forme
,
où est une fonction définie sur un sous-ensemble des entiers relatifs et ne prenant jamais la valeur zéro.
Définition
Soit et soit .
On appelle produit télescopique le produit
s’il existe une fonction telle que
pour tout .
On obtient alors
et tous les facteurs intermédiaires se simplifient.
Propriété fondamentale
Si
alors
.
Démonstration
En développant le produit :
Après simplification de tous les termes intermédiaires, il reste
.
Lien avec le logarithme
Si toutes les valeurs de sont positives, alors
.
Le logarithme d’un produit télescopique est donc une somme télescopique.
Produits infinis télescopiques
S’il existe une limite
,
alors
.
Exemples
Exemple élémentaire
Considérons
.
En développant :
.
Tous les termes intermédiaires se simplifient, donc
.
Produit infini
Considérons
.
On a
,
donc
.
En passant à la limite :
.
Références
Voir aussi
Produit infini
Catégorie:Mathématiques discrètes