En géométrie algorithmique, plus précisément en , l'homologie persistante est une méthode permettant de calculer la persistance de caractéristiques topologiques d'un espace lors d'une filtration, c'est-à-dire l'étape d'apparition d'une classe d'homologie lors de cette filtration et son étape de disparition. Les caractéristiques les plus persistantes, c'est-à-dire les classes d'homologie au temps de vie le plus long, sont considérées comme plus susceptibles de représenter les propriétés topologiques réelles de l'espace sous-jacent, plutôt que des artefacts d'échantillonnage ou du bruit.
Définition Soit une fonction à valeurs réelles sur un complexe simplicial croissante, c'est-à-dire vérifiant que pour une face de dans . Pour chaque on définit l'ensemble de sous-niveau , c'est un sous-complexe de K. On obtient la filtration
Pour tous , l'inclusion induit un homomorphisme sur les groupes d'homologie simpliciale de dimension . Les groupes d'homologie persistante de dimension sont les images de ces homomorphismes, autrement dit ce sont les classes d'homologie présentes à l'étape et persistant au moins jusqu'à l'étape . Les nombres Betti persistants sont les rangs de ces groupes. Pour , les classes d'homologie correspondent composantes connexes du sous-niveau de l'étape correspondante.
Un module de persistance sur un ensemble partiellement ordonné est un ensemble d'espaces vectoriels indicés par les éléments de , munis d'applications linéaires pour tous , et vérifiant que est l'application identité et que pour tous . Autrement dit, un module de persistance est un foncteur de , vu comme une catégorie, dans la catégorie des espaces vectoriels (ou des -modules).
Décomposition en intervalles
Lorsque l'ensemble partiellement ordonné est et que chaque espace vectoriel est de dimension finie, William Crawley-Boevey a montré en 2015 que l'on peut décomposer le module de persistance de manière essentiellement unique en somme directe de modules d'intervalles . Où est un multi-ensemble d'intervalles de (le même intervalle peut être présent plus d'une fois). Et pour un intervalle un intervalle, on définit le module de persistance , appelé module d'intervalle, avec si et autrement. Et les morphismes sont l'identité entre les copies de à l'interieur de et ailleurs.
Le multi-ensemble s'appelle le code-barre de persistance et l'ensemble s'appelle le diagramme de persistance de . En particulier la donnée de l'homologie en chaque étape d'une filtration simpliciale est un module de persistance et dans ce cas est l'étape d'apparation d'un cycle (en homologie) et l'étape à laquelle il disparait.
Références
Liens externes Site officiel de GUDHI
Catégorie:Homologie Catégorie:Géométrie algorithmique