Le théorème de Mourier est un résultat de la théorie de la mesure dans les espaces vectoriels topologiques affirmant que, dans un espace normé séparable, la tribu borélienne coïncide avec la tribu cylindrique.
Le théorème a été démontré en 1953 par la mathématicienne française Édith Mourier. Il a depuis été généralisé aux espaces localement convexes séparables et métrisables.
Énoncé Soit un espace normé, son dual topologique et le paire duale. Sur , la norme d'opérateur est définie, pour tout , par
On note la tribu borélienne associée à la topologie normique de et la tribu cylindrique, c'est-à-dire la plus petite tribu rendant mesurables toutes les formes linéaires continues .
Le théorème de Mourier s'énonce ainsi :
Si est séparable, alors .
Preuve L'inclusion est immédiate. Pour établir l'inclusion réciproque, soit une suite dense de . D'après le théorème de Hahn-Banach, pour tout , il existe une forme linéaire continue telle que et . La séparabilité de permet alors de montrer qu'il existe une famille séparant les points de et engendrant la topologie faible.
Il en résulte que la boule unité fermée
appartient à .
Comme est un espace vectoriel mesurable, toutes les boules obtenues par translation et homothétie appartiennent également à . La séparabilité de implique que ces boules engendrent la tribu borélienne, d'où .
Généralisations Le théorème s'étend aux espaces localement convexes de la manière suivante.
Soit un espace localement convexe métrisable séparable et soit la topologie faible induite par le dual topologique. Alors les tribus boréliennes associées respectivement à et à coïncident avec la tribu cylindrique, c'est-à-dire
Références
Catégorie:Théorie de la mesure