La signature d’un chemin est, en mathématiques, une suite d'intégrales itérées décrivant la géométrie d’un chemin ainsi que l’ordre dans lequel celui-ci parcourt l’espace. Introduite par le mathématicien Kuo-Tsai Chen, elle est notamment utilisée en théorie des chemins rugueux (rough paths) de Terry Lyons, en analyse stochastique et pour l’étude des séries temporelles.
Définition Soit un chemin continu à variation bornée
La signature de X sur l’intervalle est la suite
où le terme de niveau n est défini par
Ce terme appartient à la puissance tensorielle . Dans la base canonique de , ses coordonnées sont les intégrales itérées
La signature peut également être considérée comme un élément de l’algèbre tensorielle
avec la convention .
Interprétation géométrique Le premier niveau de la signature est l’accroissement total du chemin :
Il ne dépend donc que des points initial et final. Le deuxième niveau,
contient des informations sur l’ordre des déplacements dans les différentes directions. Sa partie antisymétrique mesure notamment les aires orientées balayées par le chemin. Dans le cas d’un chemin bidimensionnel, l’aire de Lévy est donnée, à un facteur de normalisation près, par
Les niveaux supérieurs décrivent des interactions d’ordre croissant entre les coordonnées du chemin. Deux chemins ayant les mêmes extrémités possèdent ainsi le même premier niveau, mais peuvent être distingués par les niveaux supérieurs de leur signature.
Propriétés
Invariance par reparamétrisation La signature est invariante par re-paramétrisation croissante. Plus précisément, si est continue, croissante et surjective, alors
La signature dépend donc de l’ordre dans lequel le chemin est parcouru, mais pas de sa vitesse de parcours.
Identité de Chen Si désigne la concaténation de deux chemins compatibles, l'identité de Chen
où désigne ici le produit de concaténation dans l’algèbre tensorielle. Cette identité permet de calculer la signature d’un chemin à partir des signatures de ses différents segments.
Relations de mélange Les coordonnées de la signature satisfont les relations de mélange (ou shuffle identities). Si I et J sont deux mots d’indices, alors
où désigne l’ensemble des mélanges de I et J, qui préservent l’ordre interne des indices de chaque mot.
Unicité Sous certaines hypothèses, la signature détermine le chemin à une équivalence près. Elle peut ainsi être considérée comme une représentation fidèle du chemin après suppression des portions qui sont parcourues puis exactement retracées en sens inverse.
Extension aux chemins irréguliers Pour un chemin suffisamment régulier, les intégrales intervenant dans la signature sont définies au sens de Riemann-Stieltjes. Cette construction ne s’applique toutefois pas directement à certains processus irréguliers, tels que le mouvement brownien.
La théorie des chemins rugueux permet d’étendre la notion de signature à ces trajectoires. Dans le cas brownien, les intégrales itérées sont généralement interprétées au sens de Stratonovich. Le deuxième niveau est alors, formellement,
Le couple formé du chemin et de ses intégrales itérées constitue un chemin rugueux et permet notamment de donner un sens continu aux solutions d’équations différentielles stochastiques.
Signature tronquée La signature complète comporte une infinité de niveaux. En pratique, elle est souvent tronquée à un ordre N :
Pour un chemin à valeurs dans , la signature tronquée contient, avant prise en compte des relations algébriques,
coordonnées lorsque .
Les signatures tronquées sont notamment utilisées pour représenter des données séquentielles, étudier des systèmes contrôlés par des signaux irréguliers et construire des méthodes d’apprentissage statistique sur des trajectoires.
Applications La théorie des signatures a connu un gain d'inertie avec la théorie des chemins rugueux de Terry Lyons. Plusieurs domaines scientifiques théoriques utilisent les signatures pour analyser des séries temporelles ou reconstruire des dynamiques stochastiques dépendantes du chemins.
En mathématiques financières et finance quantitative, les signatures sont utilisées pour modéliser des dynamiques de produits dérivés exotiques, ou pour intégrer des faits stylisés de la volatilité à des modèles à volatilité dépendante du chemin. En biologie et biomédecine, les signatures servent à analyser des données séquentielles complexes, notamment des séries physiologiques multivariées pour la détection de maladie ou des signaux de séquençage par nanopores pour identifier des modifications chimiques de l'ARN. En machine learning et science des données, les signatures fournissent une représentation des séries temporelles utilisable par des algorithmes d'apprentissage automatique, notamment pour la classification et la détection d'anomalies. Le programme de recherche DataSig, où interviennent en particulier Terry Lyons et Blanka Horvath, étudie leur combinaison avec des méthodes modernes d'apprentissage automatique et les transformeurs.
Références
Catégorie:Suite