vignette| Une cyclide de Dupin. En mathématiques, une cyclide de Dupin est un volume construit par une inversion géométrique d'un tore, d'un cylindre ou d'un double cône standard. En particulier, ces derniers sont eux-mêmes des exemples de cyclides de Dupin. Ils ont été découverts vers 1802 par le mathématicien Charles Dupin, qui a donné son nom à la figure, alors qu'il était encore étudiant à l' École polytechnique suivant les cours de Gaspard Monge.. La propriété clé d'une cyclide de Dupin est qu'il s'agit d'une surface de canal (enveloppe d'un faisceau de sphères à un paramètre) de deux manières différentes. Cette propriété signifie que les cyclides de Dupin sont des objets naturels dans la géométrie des sphères de Lie .
Les cyclides de Dupin sont souvent simplement appelées cyclides, cependant ce terme désigne usuellement une classe plus générale de surfaces quartiques qui apparaissent dans la théorie de la séparation des variables pour la résolution de l'équation de Laplace en trois dimensions.
Les cyclides de Dupin ont été étudiées par Dupin, et par la suite par Arthur Cayley, James Maxwell et Mabel M. Young.
Les cyclides de Dupin sont utilisées dans la conception assistée par ordinateur car les raccordements de cyclides ont des représentations rationnelles et sont adaptés au mélange des surfaces de canal (cylindre, cônes, tores et autres).
Définitions et propriétés Il existe plusieurs définitions équivalentes des cyclides de Dupin. Dans , elles peuvent être définies comme les images obtenues par toute inversion d'un tore, d'un cylindre ou d'un cône double. Ceci montre que la classe des cyclides de Dupin est invariante par les transformations de Möbius (ou conformes) . Dans l'espace complexe , ces trois dernières variétés peuvent être mises en bijection les unes avec les autres par inversion, de sorte que les cyclides de Dupin peuvent être définies comme des inversions du tore (ou du cylindre, ou du double cône).
Puisqu'un tore standard est l'orbite d'un point sous un sous-groupe abélien bidimensionnel du groupe de Möbius, on en déduit que les cyclides le sont également, ce qui constitue une seconde façon de les définir.
Une troisième propriété qui caractérise les cyclides de Dupin est que leurs courbures principales sont toutes des cercles (pouvant passer par le point à l'infini). De manière équivalente, les sphères de courbure, qui sont les sphères tangentes à la surface avec des rayons égaux aux inverses des courbures principales au point de tangence, sont constantes le long des courbures principales correspondantes : ce sont les sphères tangentes contenant les courbures principales correspondantes sous forme de grands cercles . De manière équivalente, les deux nappes de la surface focale dégénèrent en coniques. On en déduit que tout cyclide de Dupin est une surface de canal (c'est-à-dire l'enveloppe d'une famille de sphères à un paramètre) de deux manières différentes, ce qui donne une autre caractérisation.
La définition à partir de sphères montre que la classe des cyclides de Dupin est invariante pour le groupe plus large de l'ensemble des transformations de sphères de Lie ; deux cyclides de Dupin quelconques sont équivalentes au sens de Lie. Elles forment (en un certain sens) la classe la plus simple de surfaces invariantes de Lie après les sphères, et sont donc particulièrement importantes dans la géométrie des sphères de Lie..
La définition signifie également qu'une cyclide de Dupin est l'enveloppe de la famille paramétrée de sphères tangentes à trois sphères données.
Représentation paramétrique et implicite
(CS) : Une cyclide de Dupin peut être représentée de deux manières comme l' enveloppe d'un faisceau paramétrique de sphères, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une surface de canal avec deux directrices. La paire de directrices est constituée de coniques focales et comprend soit une ellipse et une hyperbole, soit deux paraboles. Dans le premier cas, on définit la cyclide comme elliptique, dans le second cas comme parabolique. Dans les deux cas, les coniques sont contenues dans deux plans mutuellement orthogonaux. Dans les cas extrêmes (si l'ellipse est un cercle), l'hyperbole dégénère en une ligne et la cyclide en un tore de révolution.
Une autre propriété particulière d'un cyclide est :
(CL) : Toute ligne de courbure d'une cyclide de Dupin est un cercle .
Cyclides elliptiques Une cyclide elliptique peut être représentée de manière paramétrique par les formules suivantes (voir la section Cyclide comme surface de canal ) : vignette| Signification des paramètres de conception : est le rayon de la sphère génératrice aux sommets de l'ellipse Les deux cercles du plan xz dont les centres ont des rayons . Ici: et .
Les paramètres sont les demi-grands axes et petits axes et l'excentricité linéaire de l'ellipse :
L'hyperbole est la conique focale de l'ellipse. Cela signifie que les foyers de l'ellipse sont les sommets de l'hyperbole, et inversement, les sommets de l'ellipse sont les foyers de l'hyperbole. Les deux coniques forment les deux surfaces focales dégénérées de la cyclide.
Le paramètre peut être considéré comme le rayon moyen des sphères génératrices.
Pour , fixés, on obtient ainsi les lignes de courbure (cercles) de la surface.
La représentation implicite correspondante est, en supposant que
Dans le cas où on obtient , c'est-à-dire que l'ellipse dégénère en cercle et l'hyperbole se réduit à une droite. Les cyclides correspondantes sont des tores de révolution. Cyclides elliptiques de Dupin pour les paramètres de conception a, b, c, d 150x150px150x150px150x150px150x150px150x150px150x150px cyclide symétrique à corne cyclide à corne cyclide à corne cyclide annulaire cyclide cyclique cyclide de fuseau Les paramètres de conception les plus intuitifs sont les intersections de la cycloïde avec l'axe des abscisses. Voir la section Cyclide passant par sur l'axe des x .
Cyclides paraboliques Une cyclide parabolique peut être représentée par la représentation paramétrique suivante (voir la section Cyclide comme surface de canal ) : vignette| cyclide parabolique avec ses directrices (paraboles focales).
Le paramètre détermine la forme des deux paraboles, qui sont des coniques focales :
et
Le paramètre détermine le rapport des diamètres des deux trous (voir schéma). signifie que les deux diamètres sont égaux. Pour le diagramme, on a .
Une représentation implicite correspondante est
cyclides paraboliques de Dupin pour les paramètres de conception p=1, k 200x200px200x200px200x200px cyclide cyclique cyclide à corne cyclide à corne Remarque : L'affichage des cercles fait apparaître des espaces vides dus à la restriction nécessaire sur les paramètres .
Cyclide comme surface de canal vignette| Cyclide de Dupin comme surface de canal (enveloppe d'une famille de sphères). Il existe deux façons de générer une cyclide de Dupin elliptique comme surface de canal . La première utilise une ellipse comme directrice, la seconde une hyperbole. :
Avec une ellipse pour directrice Dans le plan xy, la directrice est l'ellipse d'équation
et .
Elle possède une représentation paramétrique
est le demi-grand axe et le demi-petit axe, est l'excentricité linéaire de l'ellipse. Ainsi: . Les rayons des sphères génératrices sont
est un paramètre de conception, qu'on peut considérer comme la moyenne des rayons des sphères. Dans le cas où , l'ellipse est un cercle et la cyclide est alors un tore de révolution. le rayon du cercle générateur (génératrice).
Dans le diagramme : . vignette| Maxwell : Propriété des foyers de l'ellipse directrice. L'ellipse est l' ensemble équidistant des cercles bleus et violets. La relation simple suivante entre le centre réel de la sphère (point de l'ellipse) et le rayon correspondant de la sphère est due à Maxwell :
La différence/somme du rayon de la sphère et de la distance du centre de la sphère (point de l'ellipse) à l'un (mais fixe) des foyers est constante.
Preuve
Les foyers de l'ellipse sont . Si l'on choisit et qu'on calcule la distance on obtient . Conjugué au rayon de la sphère réelle (voir ci-dessus), on obtient . Choisir l'autre axe de focalisation donne :
Ainsi:
Dans le plan xy, les enveloppes des cercles des sphères sont deux cercles dont les centres sont les foyers de l'ellipse et de rayons (voir schéma).
Cyclide passant par sur l'axe des x vignette| Déterminer les paramètres de conception a, b, c, d appartenant aux nombres réels donnés . vignette| haut : cyclide annulaire avec milieu : cyclide à corne avec bas : cyclide de fuseau avec . La propriété de Maxwell permet de déterminer une cyclide annulaire en imposant des conditions sur ses intersections avec l'axe des x :
On considère donc quatre points sur l'axe des x (voir schéma).
À partir de là, on cherche à construire le centre , les demi-axes , l'excentricité linéaire et les foyers de l'ellipse directrice et le paramètre de la cyclide annulaire correspondant.
De la propriété de Maxwell, on déduit
On obtient ainsi pour
Les foyers (sur l'axe des x) sont
et donc
Le centre des coniques focales (ellipse et hyperbole) a pour abscisse la coordonnée x.
Pour représenter la cyclide à l'aide de la représentation paramétrique ci-dessus, il faut tenir compte du décalage du centre.
Signification de l'ordre des nombres
(Le calcul ci-dessus présuppose , voir schéma.)
(H) Échanger génère un cyclide à cornes. (S) Échanger , génère un cyclide à fuseau. (H1) Pour on obtient un cyclide à une corne. (R) Pour on obtient une cyclide annulaire se touchant elle-même à l'origine.
Surfaces parallèles vignette| Surfaces parallèles d'un cyclide cyclique avec paramètres . En faisant varier le paramètre , tout en s'assurant que le type ne change pas, on obtient des surfaces parallèles (semblables à des courbes parallèles) du même type (voir diagramme).
Avec une hyperbole comme directrice La seconde méthode pour générer le cyclide annulaire comme surface de canal utilise l'hyperbole focale comme directrice. Elle a l'équation vignette| Cyclide à deux sphères jointives dont les centres se trouvent sur l'hyperbole directrice.
Dans ce cas, les sphères touchent la cyclide de l'extérieur au niveau de la deuxième famille de cercles (courbure principale). À chaque branche de l'hyperbole appartient une sous-famille de cercles. Les sphères d'une famille entourent la cyclide (dans le schéma : violet). Les sphères de l'autre famille sont touchées de l'extérieur par la cyclide (bleu).
Représentation paramétrique de l'hyperbole :
Les rayons des sphères correspondantes sont
Dans le cas d'un tore ( ) l'hyperbole dégénère en l'axe du tore. vignette| Propriété de Maxwell pour le cas de l'hyperbole. La branche d'hyperbole est une courbe équidistante des deux cercles gris. Les foyers de l'hyperbole sont . La distance du point d'hyperbole au centre est et avec le rayon de la sphère , on obtient . De même, on obtient . Pour un point situé sur la seconde branche de l'hyperbole, on obtient les équations suivantes :
Ainsi:
Dans le plan xz, les cercles des sphères dont les centres et rayons ont les deux cercles (en gris sur le schéma) avec des centres et rayons comme des enveloppes. vignette| Construction de points.
Dérivation de la représentation paramétrique
Cyclide elliptique L'ellipse et l'hyperbole (coniques focales) sont les surfaces focales dégénérées de la cyclide elliptique. Pour n'importe quelle paire de points sur l'ellipse et l'hyperbole respectivement, ce qui suit est vrai (en raison de la définition d'une surface focale) :
La ligne est une normale du cyclide et le point correspondant de la cyclide divise l'accord avec relation (voir schéma).
À partir de la représentation paramétrique des coniques focales et des rayons des sphères
Ellipse: Hyperbole:
on obtient le point correspondant du cyclide (voir schéma) :
(Pour la représentation paramétrique inhabituelle mais pratique de l'hyperbole : voir hyperbole .)