En théorie de la mesure, la tribu produit est la tribu engendrée par les pavés de côté mesurable. Avec la mesure produit, elles fournissent le cadre pour donner un sens à la notion de « mesure de surface » à partir de « mesures de longueur ».
Définition Étant donnés deux espaces mesurables et , la tribu produit, notée , permet de donner une structure d'espace mesurable à l'ensemble produit ; elle est définie de la façon suivante : est la tribu engendrée par les pavés mesurables où ou, de manière équivalente, la plus petite tribu contenant les pavés mesurables ; on peut la définir aussi comme la plus petite tribu rendant mesurables les projections et définies par : .
Le lemme de transport permet de montrer qu'une application , définie sur un espace mesurable à valeurs dans l'espace produit , est mesurable pour la tribu produit si et seulement si les applications coordonnées sont, chacune, mesurables pour les tribus . En particulier les applications (pour fixé) et (pour fixé) sont aussi mesurables.
Exemple : tribu borélienne produit Étant donnés deux espaces topologiques et munies de leurs tribus boréliennes respectives et . Il y a alors deux façons naturelles de donner au produit une structure d'espace mesurable : à partir de la tribu produit à partir de la tribu borélienne engendrée par la topologie produit , notée .
La première est toujours incluse dans la seconde. En effet, les projections sont continues pour la topologie produit, donc mesurables pour la tribu borélienne ; la tribu produit étant la plus petite tribu rendant mesurables les projections on obtient l'inclusion désirée.
Si les espaces topologiques sont à base dénombrable alors . En particulier . .
Produit de n tribus Le produit d'un nombre fini, disons , de tribus se définit de façon similaire : il s'agit de la plus petite tribu contenant les pavés mesurables . Les propriétés énoncées pour le produit de deux tribus s'étendent sans difficulté au cas de tribus.
Produit infini de tribus Si on considère maintenant un produit infini d'espaces mesurés , la tribu produit , définie sur l'ensemble produit , est la tribu engendrée par les ensembles de la forme où et où sauf pour un nombre fini d'indices .
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Mesure produit
Bibliographie
Catégorie:Système d'ensembles en théorie de la mesure