Le théorème de récurrence de Poincaré dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée.
Contexte Système dynamique Soit un système dynamique mesuré, c’est-à-dire un triplet où :
est un espace mesurable, qui représente l'espace des phases du système. est une mesure finie sur , est une fonction mesurable préservant la mesure , c’est-à-dire telle que :
.
Récurrence d'un point Soit un sous-ensemble mesurable. Un point est dit récurrent par rapport à si
pour une infinité d'entiers .
Autrement dit : est récurrent par rapport à si pour tout entier naturel , il existe un entier tel que , c'est-à-dire si .
Énoncé et démonstration Soit un sous-ensemble mesurable pour la mesure . Alors, presque tousEn théorie de la mesure, on dit qu'une propriété P est vraie pour « presque tous les points » (d'un ensemble mesurable) si l'ensemble des x pour lesquels P(x) est fausse est de mesure nulle. les points de sont récurrents par rapport à ...
Histoire
Le théorème a été publié par Poincaré en 1890 dans l'article Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Ce mémoire vaudra à son auteur le prix d'Oscar II, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques. Le jury était composé de Weierstrass, Mittag-Leffler et Hermite. L'histoire de ce mémoire est célèbreLire par exemple ..
Notes et références
Voir aussi Articles connexes
Liens externes
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