Similitude (géométrie)

En géométrie euclidienne, une similitude est une transformation géométrique qui multiplie toutes les distances par une constante fixe, appelée son rapport. L'image de toute figure par une telle application est une figure semblable, c'est-à-dire intuitivement « de même forme ». thumb|300px|Dans ce dessin, les objets de même couleur sont semblables.

Les isométries, c'est-à-dire les transformations qui conservent les distances sont des cas particuliers de similitudes ; elles transforment des figures en des figures de même forme et de même taille. Les autres similitudes sont les composées d'une isométrie et d'une homothétie qui agrandit ou réduit la taille des figures. Parmi les similitudes, certaines conservent l'orientation, elles sont appelées similitudes directes. Les autres sont appelées similitudes indirectes.

Dans le plan, les translations, les rotations, les symétries orthogonales selon un axe, les homothéties sont des cas particuliers de similitudes. On démontre qu'une similitude plane est toujours décomposable en au plus deux transformations de ce type. L'expression complexe d'une similitude plane est la donnée de la relation entre l'affixe d'un point et l'affixe de son image, l'expression complexe d'une similitude directe est celle d'une application affine sur le corps des complexes .

Dans un espace euclidien quelconque, la similitude se décrit à l'aide d'une matrice. Dans le cas d'une similitude vectorielle, cette matrice est inversible et la matrice inverse est proportionnelle à la matrice transposée.

Une similitude peut aussi se définir plus généralement dans un espace vectoriel quelconque muni d'une forme quadratique.

Similitudes planes Définitions Définitions équivalentes thumb|Le L bleu est l'image du L noir par une similitude directe de rapport plus grand que 1 (agrandissement), le L inversé rouge est l'image du L noir par une similitude indirecte de rapport plus petit que 1 (réduction) Si l'on considère, dans le plan euclidien, une transformation, c'est-à-dire une bijection du plan dans lui-même, ƒ, les propositions suivantes sont équivalentes : ƒ multiplie les distances par un réel strictement positif k ; ƒ conserve les rapports de distances ; ƒ conserve les angles géométriques (c'est-à-dire les mesures d'angles non orientés).

Une transformation du plan qui vérifie ces propositions est appelée une similitude du plan.

On trouve cette définition, dans de nombreux ouvrages, et dans les directives de l'Éducation nationale française., mais il n'est pas toujours nécessaire de supposer au départ que la fonction ƒ du plan dans lui-même soit une bijection : une application qui multiplie les distances par un réel strictement positif est toujours une similitude. ; une injection qui conserve les rapports de distance ou les angles orientés ou seulement l'orthogonalité est une similitude..

Les similitudes conservant les rapports de distances et les alignements, conservent également les barycentres et les cercles. Réciproquement, une transformation du plan qui transforme des cercles en des cercles est une similitude..

Similitudes directes et indirectes Les similitudes qui conservent les angles orientés sont appelées des similitudes directes, les autres similitudes sont appelées indirectes. On démontre que les similitudes indirectes planes changent tous les angles orientés en leur opposé.

Les isométries directes sont appelés des déplacements. Les isométries indirectes sont appelées des antidéplacements.

Éléments caractéristiques Rapport d'une similitude

Le rapport d’une similitude est le coefficient k de proportionnalité entre les longueurs d’une première figure géométrique, et les longueurs correspondantes dans l’image de la première par la similitude. Pour le déterminer, il suffit de connaitre deux points distincts A et B et leurs images, A' et B'. Le rapport de la similitude est alors le rapport .

Autrement dit, dans une similitude de rapport k, la seconde figure reproduit la première . Le nombre ou k est alors le coefficient de proportionnalité entre les aires correspondantes. Par exemple, une similitude de rapport dix multiplie les longueurs par dix et les aires par cent.

Si le rapport est plus grand que 1, les figures sont agrandies, si le rapport est plus petit que 1, les figures sont réduites. Si le rapport est égal à 1, les figures gardent la même taille, la similitude est alors une isométrie.

Les homothéties sont des similitudes, et il faut noter l’ambiguïté du mot rapport à leur sujet. Le rapport d’une homothétie concerne des vecteurs, il peut être négatif, tandis que le rapport d’une similitude est un rapport de distances, toujours positif. Par exemple, une homothétie de rapport négatif –1 est une similitude de rapport positif 1, on peut la voir comme une symétrie par rapport à son centre ou une rotation d’angle (un demi-tour). Dans tous les cas, une homothétie de rapport k est une similitude de rapport positif |k|.

Le propre des similitudes est d'envoyer toute figure sur une figure semblable, c'est-à-dire « de même forme » mais pas nécessairement « de même taille ». Par exemple : * l'image d’un carré par une similitude est un carré ; tout triangle rectangle isocèle est semblable à n’importe quel triangle rectangle isocèle ; n’importe quel cercle est semblable à n’importe quel cercle. Une similitude transforme un triangle équilatéral en un triangle équilatéral.

Angle d'une similitude directe

Une similitude directe conserve les angles orientés. On démontre alors que l'angle que forme un vecteur avec son image est constant. Cet angle est appelé l'angle de la similitude directe.

Dans le cas d'une similitude indirecte, l'angle que forme un vecteur avec son image est variable. C'est la raison pour laquelle on ne peut pas définir d'angle pour une similitude indirecte plane.

Similitudes à centre

Toute similitude de rapport k différent de 1, c'est-à-dire toute similitude différente d'une isométrie, possède un unique point invariant I qui est appelé le centre de la similitude. Il existe plusieurs méthodes pour déterminer géométriquement le centre d'une similitude connaissant deux points distincts A et B et leurs images A’ et B’.

thumb|Recherche des centres des deux similitudes qui transforment A et B en A’ et B’. I1 est le centre de la similitude directe et I2 est celui de la similitude indirecte.

L'une d'entre elles consiste à utiliser le fait que l'ensemble des points M vérifiant est un cercle de diamètre A1A2 où A1 et A2 sont les barycentres de A et A’ affectés des coefficients k et ±1. Le centre I de la similitude est situé sur les cercles et . En général, ces cercles se rencontrent en deux points. L'un est le centre de la similitude directe transformant (A, B) en (A’, B’), l'autre est le centre de la similitude indirecte.

thumb|left|Recherche du centre de la similitude directe selon Euler

Pour la recherche du centre de la similitude directe transformant (A, B) en (A’, B’), Euler propose une méthode plus simple utilisant les cercles circonscrits. Le cas où les segments [AB] et [A’B’] sont parallèles est rapidement traité : ƒ est alors une homothétie et son centre est le point d'intersection des droites (AA’) et (BB’). Les cas particulier où A = A’ ou B = B’ ne sont pas étudiés car le centre de la similitude est immédiat. Le cas où les 4 points seraient alignés nécessite la construction à l'aide de triangles directement semblables de points C et C’ non alignés avec A et B. Quand les droites (AB) et (A’B’) sont sécantes en P, il suffit de construire les cercles circonscrits aux triangles AA’PSi P est confondu avec A (ou A’), on trace le cercle passant par A’ et A et tangent à la droite (AB) (ou à (A’B’) et BB’P. Le centre de la similitude est l’autre point commun aux deux cercles Si les deux cercles sont tangents, on considère que les deux points d'intersections sont confondus et I = P. Cette méthode utilise le fait que I et P regardent les points A et A’ et les points B et B’ sous le même angle égal à l'angle de la similitude directe. Les points IPAA’ d'une part et IPBB’ d'autre part, sont donc, selon la propriété des angles inscrits, cocycliques.

thumb|Recherche du centre d'une similitude directe à l'aide d'un carré et son image

Mais il existe une méthode pour trouver le centre d'une similitude directe ne demandant pas la construction de cercles. Elle utilise le fait que, dans un similitude directe de centre I, les droites (MM’) et (NN’) sont parallèles si et seulement si les points I, M et N sont alignés ainsi que les points I, M’ et N’. Il suffit alors de construire deux carrés ABCD et A’B’C’D’ directement semblables. Comme dans la méthode précédente, le cas où les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles est facile à traiter. Dans le cas contraire, on construit les points d'intersections P, Q, R et S des droites (AB) et (A’B’), (BC) et (B’C’), (CD) et (C’D’), (DA) et (D’A’). Le point d'intersection des droites (PR) et (QS) fournit le centre de la similitude. Le principe est que P et son image sont sur (A’B’), R et son image sont sur (C’D’). Les droites (PP’) et (RR’) sont parallèles, le centre de la similitude est alors sur (PR) et (P’R’).

Les isométries, quant à elles, sont de 4 types : celles qui ne possèdent aucun point invariant (translation de vecteur non nul pour les déplacements, ou symétrie glissée pour les antidéplacements) ; celles qui possèdent un seul point invariant I (les rotations de centre I d'angle non nul) ; celles qui possèdent une droite comme ensemble de points invariants (les réflexions d'axe d) ; celle dont tous les points sont invariants (l'application identité). On peut utiliser l'une ou l'autre des méthodes décrites ci-dessus pour déterminer le centre d'une rotation, ou bien chercher un point commun aux médiatrices de [AA’] et [BB’] .

Inventaire et décomposition canonique

thumb|upright=0.8|L'homothétie de centre I et de rapport 1/2 transforme le L noir en L bleu. C'est un cas particulier de similitude directe.

Outre l'identité (similitude directe de rapport 1, d'angle nul, sans centre unique), les similitudes fondamentales sont : les translations de vecteur non nul (similitudes directes, de rapport 1, d'angle nul, sans centre) ; les rotations d'angle non nul (similitudes directes, de rapport 1, d'angle égal à celui de la rotation, de centre égal au centre de la rotation) ; les homothéties de rapport différent de 1(similitudes directes, de rapport égal à la valeur absolue du rapport de l'homothétie, d'angle nul si le rapport de l'homothétie est positif, d'angle plat si le rapport de l'homothétie est négatif, de centre le centre de l'homothétie) ; les réflexions d'axe d (similitudes indirectes, de rapport 1, sans centre). Toute similitude est une similitude fondamentale ou la composée de deux d'entre elles. À condition de bien les choisir, ces deux similitudes fondamentales commutent entre elles, c'est-à-dire que ƒ ∘ g = g ∘ ƒ.

Inventaire des isométries

Déplacements ou isométries directes : outre l'identité, les isométries directes sont les translations et les rotations. Antidéplacements ou isométries indirectes : les isométries indirectes sont les réflexions, ou les symétries glissées (composée commutative d'une translation de vecteur et d'une réflexion selon un axe dont la direction est .

Inventaire des similitudes de rapport différent de 1

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