thumb|300px|right|Illustration de la notion de fonction d'onde dans le cas d'un oscillateur harmonique. Le comportement en mécanique classique est représenté sur les images A et B et celui en mécanique quantique sur les figures C à H. Les parties réelles et imaginaires des fonctions d'onde sont représentées respectivement en bleu et en rouge. Les images C à F correspondent à des états stationnaires de l'énergie, tandis que les figures G et H correspondent à des états non stationnaires.
La fonction d'onde est un des concepts fondamentaux de la mécanique quantique. Elle correspond à la représentation de l'état quantique d'un système dans une base de dimension infinieCf. Shankar, Principles of quantum mechanics, 2nd ed., Plenum, New York, 1994, , chapitre 4., en général celle des positions . Dans ce dernier cas, elle est notée , qui, par définition, correspond à , si l'état quantique est normé.
La fonction d'onde correspond à une amplitude de probabilité, en général à valeurs complexes. La probabilité de trouver une particule au voisinage de la position à l'instant t est alors proportionnelle au carré du module de la fonction d'onde , densité de probabilité (volumique) de présence, et à la mesure du volume du voisinage considéré de . Cette interprétation probabiliste de la notion de fonction d'onde a été développée dans les années 1925-1927 par Max Born, Werner Heisenberg et d'autres, et constitue l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique, laquelle interprète ce caractère probabiliste dans l'interaction entre le système de mesure (macroscopique, donc classique) et le système quantique, conduisant à la réduction du paquet d'onde. Si elle est la plus couramment admise en pratique, cette interprétation soulève divers problèmes épistémologiques (cf. Problème de la mesure quantique).
Si le système est dans un état stationnaire, cette densité de probabilité ne dépend pas du temps et il est possible d'utiliser la fonction d'onde stationnaire , qui dans ce cas ne diffère de que par un facteur de phase, nombre complexe de module 1 sans intérêt physique particulierIl "s'élimine" en effet lors de l'évaluation du carré du module de la fonction d'onde..
La fonction d'onde est calculée à l'aide de l'équation de Schrödinger. Par exemple, dans un puits de potentiel, la fonction d'onde d'une particule est une onde sinusoïdale stationnaire dont la longueur d'onde est un multiple de la largeur du puits.
Historiquement, la notion de fonction d'onde fut introduite de façon implicite par Louis de Broglie dans sa thèse en 1924. Son nom s'explique par le fait qu'elle revenait à donner à toute particule les propriétés d'interférence typiques d'une onde, généralisant la dualité onde-corpuscule introduite pour la lumière par Albert Einstein. C'est Erwin Schrödinger qui approfondit cette notion, en proposant en 1926 l'équation (portant désormais son nom) qui permet de déterminer la fonction d'onde.
Rappel des notions de base de la mécanique quantique Vecteur d'état et équation de Schrödinger En mécanique quantique, l'état d'un système considéré, tant qu'il s'agit d'un état pur, est donné par son vecteur d'état . Ce vecteur appartient à l'espace des états du systèmeCf. Cohen-Tannoudji et al., Mécanique quantique, tome I, Herman, Paris, 1977, . ; est un espace vectoriel sur le corps des nombres complexes, est de dimension infinie, et est un espace de Hilbert. Ici, le terme « vecteur » est une extension à la dimension infinie des vecteurs à trois coordonnées habituellement rencontrés en mécanique.
Toute grandeur physique (notée A), telle que l'énergie, la position du système, etc., est représentée par un opérateur hermitien (noté ), appelé observable, agissant sur l'espace des états. Un cas particulier important d'observable est l'opérateur associé à l'énergie totale du système, l'hamiltonien , lequel peut dépendre du temps lorsqu'il y a apport ou retrait d'énergie.
Le vecteur d'état correspond alors à une solution de l'équation de Schrödinger : .
L'espace de Hilbert ainsi que opérateur étant linéaires, l'équation de Schrödinger l'est également. Par suite, si et sont deux vecteurs d'état solutions de l'équation de Schrödinger, alors toute combinaison linéaire de et est également une solution de cette équation. Cette propriété des solutions de l'équation de Schrödinger constitue le principe de superpositionCf. , § 2..
Mesure d'une grandeur physique L'action sur le vecteur d'état de l'observable correspond à la mesure de la valeur de la grandeur physique représentée par cet observable à l'instant t : cette mesure ne peut donner qu'une valeur propre de cet opérateur, c'est-à-dire que , où est l'état propre de l'opérateur correspondant à l'équation aux valeurs propres (notées ) : . Le caractère hermitien de l'opérateur associé à l'observable implique que toutes ses valeurs propres soient réelles, et donc possèdent un sens physique.
Immédiatement après la mesure, le vecteur d'état devient égal au vecteur propre , si la valeur propre correspondante est non-dégénérée, c'est-à-dire correspond à un unique état propre Si la valeur propre est dégénérée, le vecteur d'état juste après la mesure est une superposition des vecteurs propres (avec i = 1, ..., g, où g est le degré de dégénérescence de la valeur propre considérée) du sous-espace propre associé à la valeur propre .. Ce processus particulier, spécifique à la mécanique quantique, au cours duquel la mesure d'une grandeur physique modifie l'état du système physique étudié, s'appelle réduction du paquet d'onde.
Les opérateurs associés aux diverses observables étant hermitiens, l'ensemble des états propres d'une observable quelconque constitue une base orthonormée de l'espace des états du système (ce résultat constitue le théorème spectral). Par suite, le vecteur d'état (qui sera également supposé normé) peut être décomposé sur cette base par produits hermitiensCette possibilité de décomposer le vecteur d'état sur la base des états propres d'une observable est bien sûr étroitement associée à la linéarité de l'équation de Schrödinger. : , où , avec l'interprétation physique suivante : est la probabilité (à l'instant t) d'obtenir comme résultat de la mesure de la grandeur physique A la valeur .
États stationnaires Un cas particulier important est celui des systèmes pour lesquels le hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps. L'ensemble des états propres de cet opérateur est alors donné par l'équation : , souvent appelée équation de Schrödinger stationnaire ou indépendante du temps. Les valeurs propres correspondantes ne dépendent pas non plus du temps. Ces états propres sont appelés états stationnaires du systèmeIl est important de souligner que, même si les valeurs propres de l'énergie ne dépendent pas du temps pour un état stationnaire, les états propres , éléments de l'espace des états du système, dépendent en général de t..
En effet, si le système est dans un tel état, , l'équation de Schrödinger s'écrit : , qui a pour solution évidente :
où est indépendant de t.
La dépendance temporelle des états propres est alors celle d'un facteur de phase, nombre complexe de module 1 sans signification physique particulière. En particulier, si le système est initialement dans un état stationnaire d'énergie donnée , il le demeure au cours de son évolution future. 280px|thumb|Fonction d'onde de l'hydrogène : Probabilité de présence de l'électron dans les premières orbitales de l'hydrogène (vues en coupe ; les échelles varient selon les orbitales représentées).
Notion de fonction d'onde Représentations de l'espace des états d'un système thumb|Animation de l'onde d'hydrogène La description de l'état physique d'un système en termes de vecteur d'état appartenant à un espace de Hilbert, et des diverses grandeurs physiques en termes d'opérateurs agissant sur les éléments de cet espace des états, a l'avantage de fournir une description élégante de l'état et de l'évolution d'un système quantique, applicable à une variété de situations, y compris dans le cas de particules possédant des degrés de liberté sans équivalent classique, tels que le spin. En revanche, les notions utilisées sont très abstraites et il est nécessaire en pratique de pouvoir exprimer les différents opérateurs, notamment le hamiltonien , et le vecteur d'état sous une forme accessible au calcul, de façon à pouvoir résoudre l'équation de Schrödinger.
Pour ce faire, il est nécessaire de choisir une base dans laquelle peuvent être exprimés les différents opérateurs et le vecteur d'état : une telle base s'appelle une représentation de l'espace des étatsCf. Shankar, op. cit... On choisit une base formée par les vecteurs propres d'un opérateur associé à une observable donnée. En particulier, il est possible d'utiliser les représentations associées aux opérateurs possédant un spectre continu de valeurs propres, dont les états propres constituent une "base continue" de l'espace des états, comme ceux associés aux opérateurs position et impulsion , dont les "bases" sont notées et En pratique, l'introduction de telles "bases continues" posent de sérieux problèmes mathématiques. En effet, ces états propres ne sont pas de carré sommable, et doivent être orthogonalisés "au sens des distributions" : .. Ces deux représentations correspondent respectivement à la représentation position et à la représentation impulsion.
En représentation position, les vecteurs de base sont les états propres de l'opérateur position de la particule. Cet opérateur est un exemple d'opérateur "vectoriel", constitué en fait de trois opérateurs "scalaires", , dont l'action sur un des états propres se résume à une simple multiplication : (idem pour et ).
Dans cette représentation, l'opérateur impulsion de la particule s'écrit, en l'absence de champ magnétique, Ce résultat s'obtient en raison de la relation de commutation canonique : , la notation désignant l'opérateur identité..
Les états ne sont pas de carré sommable et ne sont pas normalisables au sens usuel du terme. Ils n'appartiennent donc pas à l'espace des états du système, bien qu'ils soient qualifiés de vecteurs de "base" pour cet espace. On peut cependant les normaliser "au sens des distributions", en imposant la condition La notation "δ" correspond à la distribution de Dirac, souvent appelée par abus de langage "fonction delta de Dirac", bien qu'elle ne soit pas stricto sensu une fonction. La propriété principale de cette "fonction" est que, pour toute fonction f, ..
En représentation impulsion, on utilise la base , continue, des états propres de l'opérateur impulsion , lequel est aussi un opérateur vectoriel ; il est constitué des trois opérateurs scalaires , correspondant aux trois composantes de l'impulsion de la particule. Comme précédemment, l'action d'un de ces opérateurs sur un état propre se résume à la multiplication par la valeur de l'impulsion correspondante ; par exemple, .
Dans cette représentation, l'opérateur position s'écrit , où désigne l'opérateur gradient agissant sur les variables .
Comme pour la représentation position, les états ne sont pas de carré sommable et ne sont pas normalisables au sens usuel du terme, mais le sont cependant "au sens des distributions", en imposant la condition .
Fonction d'onde en représentation position (particule sans spin) Mise en évidence En représentation position et pour une particule sans spin, le vecteur d'état peut alors être décomposé sur la base des , ce qui donne: ,