En algèbre universelle, une variété est une classe équationnelle, c'est-à-dire une classe K non vide de structures algébriques de même signature qui satisfont un ensemble d'identités (appelé axiomatisation équationnelle de la classe).
Exemple Un monoïde est un ensemble E muni d'une loi interne * associative et d'un élément neutre e. Ainsi, pour tous éléments x, y, z d'un monoïde, les équations suivantes sont vérifiées : (x * y) * z = x * (y * z) x * e = x e * x = x De plus, ces trois équations caractérisent la notion de monoïde. Ainsi, la classe des monoïdes est une variété, puisqu'elle est définie par ces trois équations.
Théorème HSP D'après la définition, toute variété K vérifie : (H) toute image par homomorphisme d'un élément de K est dans K ; (S) toute sous-structure d'un élément de K est dans K ; (P) tout produit direct d'éléments de K est aussi dans K.
Le théorème HSP de Garrett Birkhoff (1935)Birkhoff, G. (Oct 1935), "On the structure of abstract algebras", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 31 (4): 433–454 énonce que la réciproque est vraie : toute classe stable par homomorphismes, sous-structures et produits est équationnelle.
Articles connexes Théorème des variétés d'Eilenberg
Notes et références
Catégorie:Structure algébrique