285x285px|vignette|Les systèmes entrées-sorties de la théorie du contrôle sont des systèmes ouverts capables de recevoir des signaux (en entrée) et de délivrer en retour d'autres signaux (en sortie).En mathématiques et en sciences de l'ingénieur, la théorie du contrôle a comme objet l'étude et la conception de systèmes ouverts, particulièrement de systèmes entrées-sorties, à des fins de régulation. Elle peut être vue comme une branche de l'analyse et de l'optimisation, notamment appliquée à l'automatique, et spécialisée dans l'élaboration de contrôleurs délivrant des lois de commande aux systèmes à réguler, en boucle ouverte ou en boucle fermée. Elle inclut également la conception d'observateurs, utiles à l'estimation de quantités qui ne sont pas directement mesurables..
Objectifs et enjeux vignette|318x318px|Résolution d'un problème de régulation à l'aide d'une commande PID L'objectif principal de la théorie du contrôle consiste à piloter des signaux, dits de sortie, d'un système ouvert à partir de signaux dits d'entrée (ou commandes) qui lui sont appliqués. On peut lister plusieurs grandes problématiques:
La commandabilité (ou contrôlabilité) : comment choisir une commande de sorte que les signaux de sortie du système atteignent une valeur cible choisie par ailleurs ? La stabilisabilité : comment choisir une commande de sorte que les signaux de sortie du système se stabilisent vers une valeur de consigne choisie par ailleurs ? On parle de régulation. La poursuite de trajectoire : comment choisir une commande de sorte que les signaux de sortie du système se stabilisent le long d'une trajectoire de consigne choisie par ailleurs ? On parle d'asservissement. L'estimation : comment estimer certaines quantités internes à un système, à partir de la connaissance de ses signaux d'entrées et de sorties ? Cette estimation se fait généralement par le biais d'un observateur. L’enjeu central est de répondre à ces problématiques de façon robuste, c’est-à-dire en garantissant des performances satisfaisantes malgré les incertitudes sur le modèle du système ou la présence de perturbations externes. Le terme de régulation est d'ailleurs généralement réservé à la synthèse de commandes possédant des mécanismes de compensation des perturbations.
Contrôleurs, régulateurs, correcteurs, compensateur... vignette|325x325px|Schéma bloc de contrôleurs : en boucle ouverte, en boucle fermée, et du cas mixteLes systèmes conçus en théorie du contrôle sont généralement appelés des contrôleurs, des régulateurs, des correcteurs ou même des compensateurs. Ces dispositifs génèrent les signaux de commande appliqués au système à piloter. Dans la suite, on utilisera le terme contrôleur, qui est le plus général. Lorsque la loi de commande délivrée par un contrôleur ne dépend pas des sorties du système, on dit que le contrôleur est en boucle ouverte. Inversement, lorsque la loi de commande délivrée par un contrôleur est mise à jour en temps-réel en fonction des sorties du système, on dit que le contrôleur est en boucle fermée. Cette architecture met à profit le principe de rétroaction.
Les problèmes de stabilisation le long d'une consigne (constante ou non) nécessitent le plus souvent un contrôle en boucle fermée. Un contrôleur peut également posséder à la fois une composante en boucle ouverte et une en boucle fermée.
Exemples d'application vignette|297x297px|Stabiliser un pendule inversé à la verticale est un problème classique de la théorie du contrôle.Bien que la théorie du contrôle soit historiquement ancrée dans l'automatique industrielle, ses applications s'étendent bien au-delà, couvrant des domaines très variés. À titre d'exemple, on peut citer les applications suivantes :
Systèmes mécaniques : Stabiliser à la verticale un pendule inversé. Systèmes électriques : Estimer l'état de charge d'une batterie lithium-ion. Infrastructures critiques : Maintenir l'intégrité des réseaux de distribution d'eau, de gaz et d'électricité. Espace : Maintenir l'orbite géostationnaire d'un satellite de télécommunications. Défense : Piloter un essaim de drones, intercepter un missile balistique par un missile antibalistique. Santé publique : Réguler la dynamique épidémiologique lors d'une pandémie, modéliser et prévenir les crises d'épilepsie. Économie et finance : Piloter la transition écologique d'une économie, optimiser la gestion de portefeuilles d'investissement. Chronométrie : Assurer la régularité de la mesure du temps par différents types d'horloges. Dynamiques sociales : Atténuer la propagation des fake news sur les réseaux sociaux.
Contrôle classique, contrôle moderne
Contrôle classique L'approche classique du contrôle s'appuie essentiellement sur les fonctions de transfert qui décrivent des systèmes linéaires temps-invariant (LTI) dans le domaine fréquentiel. Le contrôle classique est généralement la partie du contrôle enseignée en premier dans les cursus d'ingénierie. Ses résultats fondateurs remontent à la première moitié du XXᵉ siècle, dans le sillage des besoins en télécommunications et en asservissements industriels. Le contrôleur est typiquement de type PID, et est évalué à travers des critères tels que la marge de gain, la marge de phase, le temps de réponse, le dépassement et l'erreur statique. L'analyse mobilise des outils graphiques : diagramme de Bode, diagramme de Black, lieu de Nyquist, lieu des racines (root locus), ainsi que des critères algébriques comme celui de Routh-Hurwitz pour la stabilité.
Contrôle moderne Le contrôle moderne est un terme parapluie qui regroupe les approches du contrôle fondées sur la représentation d’état. Il est généralement abordé après les bases du contrôle classique dans les cursus d'ingénierie. Ses résultats fondateurs datent des années 1960 et ont été motivés par les programmes spatiaux et l'essor du calcul numérique. Plus spécifiquement, il désigne le formalisme dans lequel les systèmes linéaires temps-invariant (LTI) sont décrits par un quadruplet de matrices . Ce formalisme permet de traiter naturellement les systèmes multivariables (MIMO) et s'accompagne de notions comme la commandabilité (ou contrôlabilité) et l'observabilité. La synthèse du contrôleur s'appuie alors sur des techniques telles que le placement de pôles, la commande linéaire quadratique (LQR), ou encore le filtre de Kalman pour l'estimation d'état en présence de bruit, leur combinaison donnant le contrôleur LQG.
Représentation d'état
La représentation d'état désigne la représentation des systèmes entrées-sorties étudiés en contrôle sous la forme de systèmes dynamiques, paramétrés par des entrées sur lesquelles on peut agir. Ces systèmes dynamiques entrées-sorties possèdent un état interne qui permet de modéliser et de simuler algorithmiquement une grande variété de comportements. centré|vignette|810x810px|Système dynamique entrée-sortie. La commande en entrée est à gauche. La trajectoire de l'état interne de condition initiale pour la dynamique est représentée au centre. Les sorties sont à droite.
Systèmes dynamiques entrées-sorties On se place dans un ensemble, l'espace d'état d'un système (avec généralement ), où chaque point représente un état particulier du système, et sur lequel on définit une dynamique, c'est-à-dire une loi mathématiques qui, depuis n'importe quel état initial , fournit une trajectoire appartenant à l'espace d'état . Lorsque est plongé dans un espace de dimension finie, les coordonnées de sont appelées variables d'état.
La trajectoire est fonction de l'état initial , du temps , et dépendante des valeurs de paramètres d'entrée :
Le paramètre de contrôle, noté , appelé également paramètre de commande, et qui prend ses valeurs à chaque instant dans un espace des contrôles (avec généralement ). En pratique, le paramètre de contrôle correspond généralement aux signaux appliqués au système par le biais d'actionneurs. Le paramètre d'entrée exogène, noté , appelé également paramètre de perturbation, et qui prend ses valeurs à chaque instant dans (avec généralement ). Contrairement à l'entrée sur laquelle on peut agir, l'entrée est subie par le système. Elle correspond aux perturbations et aux consignes du système, et elle n'est pas toujours considérée explicitement.
Si le déroulement du temps est modélisé par un entier positif (), le système est alors dit temps-discret (le temps ne prend que des valeurs entières). L'état du système ne dépend généralement que de l'état du système et des paramètres d'entrée à l'instant précédent. La dynamique du système est alors donnée par une suite définie par l'intermédiaire d'une fonction ; elle s'écrit :
Si le déroulement du temps est modélisé par un réel positif (), le système est alors dit temps-continu (le temps s'écoule continument). Dans ce cas, la dynamique du système est généralement donnée par une équation différentielle ordinaire ; elle s'écrit :
Dans ce contexte est la dérivée temporelle de à l'instant , et il peut alors être nécessaire de vérifier l'existence et l'unicité de la trajectoire .
En pratique, on ne s'intéresse pas systématiquement à l'évolution de toutes les variables d'état, mais parfois uniquement à certaines quantités dites de sortie. Ces quantités d'intérêt, notées , sont à valeur dans un espace des sorties (avec généralement ). Elles sont définies par l'intermédiaire d'une fonction :
Il est quelques fois nécessaire de distinguer les sorties mesurées des sorties contrôlées . :
Les sorties mesurées sont des quantités supposées connues en temps-réel, et qui peuvent notamment être utilisées pour synthétiser une commande . En pratique, il s'agit généralement de données mesurées au sein du système par le biais de capteurs. Les sorties contrôlées sont les quantités dont on souhaite manipuler l'évolution par le biais de la commande .
Ces deux types de sorties ne sont pas systématiquement confondus. On peut tout à fait vouloir contrôler une quantité qu'on sait mesurer (sortie contrôlée et mesurée) ou qu'on ne sait pas mesurer (sortie contrôlée et non mesurée). On peut également mesurer une quantité dont on ne cherche pas particulièrement à contrôler l'évolution (sortie mesurée et non contrôlée). Cas général En toute généralité, la théorie du contrôle s'intéresse donc aux systèmes dynamiques de la forme :
avec l'état interne du système, sa commande et ses autres entrées exogènes, sa sortie contrôlée et sa sortie mesurée. Ici, dénote ou suivant le contexte temps-continu ou temps-discret. Les équations ci-dessus forment la représentation d'état du système. Il arrive que la sortie contrôlée soit remplacée par une variable , définie comme l'écart entre et la consigne . La consigne est alors intégrée aux entrées exogènes . Le problème d'asservissement (ou de régulation) revient finalement à stabiliser en , et la deuxième équation de la représentation d'état devient :
Cas linéaire temps-invariant (LTI) Lorsque les variables du systèmes sont de dimension finie et que les fonctions , et introduites plus haut sont temps-invariant et linéaires en , et (éventuellement après les avoir linéarisées autour d'un point de fonctionnement), on aboutit au système linéaire temps-invariant (LTI) suivant :
Ce système LTI peut se ré-écrire dans le domaine fréquentiel, par le biais d'une transformation de Laplace dans le cas temps-continu et par le biais d'une transformation en Z dans le cas temps-discret, sous la forme :avec , , et la représentation fréquentielle des signaux , , et respectivement, et les des matrices de transfert données par :
Chaque élément de ces matrices est une fonction de transfert et contient des renseignements sur le comportement fréquentiel du système.
Techniques de contrôle
Contrôle en boucle ouverte