En mathématiques, la notion de stabilité de Liapounov (ou, plus correctement, de stabilité au sens de Liapounov ; parfois orthographié Lyapunov suivant la graphie anglaise) apparaît dans l'étude des systèmes dynamiques. Elle joue un rôle prépondérant en automatique, et plus spécifiquement en théorie du contrôle. De manière générale, la notion de stabilité joue également un rôle en mécanique, dans les modèles économiques, les algorithmes numériques, la mécanique quantique, la physique nucléaire
Un exemple typique de système stable au sens de Liapounov est celui constitué d'une bille roulant sans frottement au fond d'une coupelle ayant la forme d'une demi-sphère creuse : après avoir été écartée de sa position d'équilibre (qui est le fond de la coupelle), la bille oscille autour de cette position, sans s'éloigner davantage : la composante tangentielle de la force de gravité ramène constamment la bille vers sa position d'équilibre. En présence d'un frottement visqueux (si l'on ajoute par exemple un peu d'huile au fond de la coupelle), les oscillations de la bille sont amorties et celle-ci revient à sa position d'équilibre au bout d'un certain temps (théoriquement infiniment long) : cet amortissement est dû à la dissipation d'énergie sous forme de chaleur. Le système est alors asymptotiquement stable. Si maintenant on retourne la coupelle, le sommet de celle-ci (ayant toujours la forme d'une demi-sphère) est encore une position d'équilibre pour la bille. Mais à présent, si l'on écarte la bille d'une quantité infinitésimale en absence de frottement, cette bille se met à rouler sur la paroi de la coupelle en tombant ; elle s'écarte sans retour de sa position d'équilibre, car la composante tangentielle de la force de gravité éloigne constamment la bille de sa position d'équilibre. Un tel système est dit instable.
De manière moins imagée, si tout mouvement d'un système issu d'un voisinage suffisamment petit d'un point d'équilibre demeure au voisinage de ce point, alors est dit stable au sens de Liapounov (rigoureusement parlant, ce n'est pas un système dynamique qui peut être stable au sens de Liapounov mais un point d'équilibre de ce système ; certains systèmes peuvent avoir plusieurs points d'équilibre, les uns stables, les autres instables). Le théorème central d'Alexandre Liapounov dit qu'un point d'équilibre est stable (au sens de Liapounov) pour un système dynamique (décrit par une équation différentielle du type ) si et seulement s'il existe une fonction vérifiant certaines conditions précises et liées à la fonction de l'équation différentielle et à . Le problème de la stabilité se ramène donc à chercher une telle fonction (dite fonction de Liapounov), souvent par tâtonnement. Les conditions que doit vérifier une fonction de Liapounov du problème dynamique (purement mathématique) rappellent les conditions que doit vérifier l'énergie potentielle pour qu'il y ait stabilité d'un point d'équilibre d'un système physique (voir, infra, le premier et le troisième paragraphe de l'introduction historique : Stabilité au sens de Lagrange-Dirichlet et L’œuvre de Liapounov).
D'autres notions de stabilité peuvent être traitées de manière similaire. Par exemple : la stabilité asymptotique (si tout mouvement issu d'un voisinage suffisamment petit U de reste au voisinage de ce point et converge vers ). Cette stabilité asymptotique est dite globale si U est l'espace tout entier ; la stabilité structurelle (si lorsque l'équation différentielle est perturbée par un terme suffisamment petit, ses orbites ou trajectoiresPour certains auteurs, une orbite est une trajectoire qui se referme sur elle-même, c'est-à-dire une trajectoire compacte. Pour d'autres auteurs encore, une trajectoire signifie ce qui dans cet article est appelé un mouvement. Cette dernière acception (utilisée notamment par ceux qui font de la planification de trajectoire) n'est pas sans provoquer des confusions. restent peu modifiées).
Les cas d'instabilité peuvent donner lieu à des comportements chaotiques.
Dans le cas de systèmes linéaires aux paramètres incertains, la recherche d'une fonction de Liapounov peut se formaliser en un problème d'optimisation et, lorsque celui-ci est convexe, il existe des algorithmes de résolution efficaces. Il existe également des méthodes permettant de réaliser un bouclage de manière qu'une fonction de Liapounov, choisie à l'avance, garantisse la stabilité.
Exemples Les exemples qui suivent sont traités grâce aux théorèmes énoncés et démontrés dans la suite de cet article. Ces exemples ont pour rôle de motiver ces théorèmes et les définitions, parfois un peu techniques, qui sont également nécessaires. Les systèmes considérés ont des coefficients qui ne dépendent pas du temps (ils sont régis par des équations différentielles autonomes). Pour de tels systèmes, les notions délicates d'uniformité sont inutiles, ce qui simplifie considérablement les concepts.
Exemple 1
Considérons le système dynamique défini par l'équation différentielle du premier ordre
.
Pour déterminer les points d'équilibre réels, on écrit , d'où , ce qui équivaut à : c'est l'unique point d'équilibre. Le but est de déterminer si ce point d'équilibre est stable sans avoir à résoudre l'équation différentielle.
Soit alors la fonction ; on peut l'assimiler à une énergie puisque cette fonction est strictement positive sauf au point d'équilibre (on dit qu'elle est définie positive) et elle est « globalement propre » (ou « radialement non bornée »), c'est-à-dire que lorsque . Calculons maintenant la dérivée par rapport au temps de cette fonction le long des trajectoires du système. Elle s'écrit pour , soit donc . Par conséquent, pour tout (on dit par conséquent que la fonction est définie positive, ou encore que est définie négative). Cette énergie est donc toujours strictement décroissante. Le théorème de Liapounov, explicité plus bas, montre que cette énergie devra nécessairement s'annuler, c'est-à-dire que l'état x du système va nécessairement converger vers 0 quelle que soit la condition initiale. On dit que V est une fonction de Liapounov et que le point d'équilibre 0 est globalement asymptotiquement stable.
Exemple 2
Envisageons maintenant un système plus compliqué, pour lequel la fonction de Liapounov ne sera pas aussi simple: soit le système
.
L'origine est de nouveau un point d'équilibre. Soit cette fois . On peut écrire cette quantité sous la forme
.
Elle est donc définie positive (au sens précisé plus haut, et bien qu'il ne s'agisse pas d'une forme quadratique) et globalement propre, et peut de nouveau être considérée comme une énergie, dans un sens généralisé. Un calcul semblable au précédent donne
où et sont les quantités définies plus haut en fonction de et . On vérifie que
et est donc définie négative. Par le même raisonnement que dans le premier exemple, V est une fonction de Liapounov, et le théorème de Liapounov permet de conclure que le point d'équilibre est globalement asymptotiquement stable.
Exemple 3
Soit maintenant le système
avec . Étudions de nouveau la stabilité du point d'équilibre . Pour x voisin de 0, on peut considérer ce système comme « quasi linéaire » (voir infra) et on peut l'approcher par le système linéaire (en négligeant les termes du second ordre)
soit encore avec . On vérifie facilement que les valeurs propres de A sont . La condition nécessaire et suffisante de stabilité d'un système linéaire à coefficients constants (voir infra) montre alors que 0 est asymptotiquement stable pour ce système linéaire, puisque ces valeurs propres appartiennent toutes deux au demi-plan gauche ouvert du plan complexe. Par conséquent, d'après le théorème de Perron, donné plus bas, l'origine est asymptotiquement stable pour le système non linéaire envisagé.
La question se pose maintenant de savoir si cette stabilité asymptotique est globale ou non. D'après le Critère de Liapounov (voir infra), il existe une unique solution symétrique réelle définie positive P à l'équation algébrique dite de Liapounov
.
En résolvant cette équation, on obtient en effet . Par conséquent, la fonction est une fonction de Liapounov pour l'approximation linéaire. Voyons maintenant ce qu'il en est pour le système non linéaire initial. On obtient
soit encore
.
Par conséquent,
pour , la fonction est définie négative, et l'origine est donc globalement asymptotiquement stable pour le système non linéaire. De plus, d'où, pour une condition initiale , on a pour tout
d'où
et le point d'équilibre 0 est dit globalement exponentiellement stable.
Pour , prenons un état initial situé à l'extérieur de la boule : alors , donc ne peut qu'augmenter, et par suite l'état du système ne peut que s'éloigner de cette boule. L'origine n'est donc pas globalement asymptotiquement stable. Son bassin d'attraction est la boule ouverte , car pour un état initial situé dans cet ensemble, , et l'« énergie » va diminuer jusqu'à s'annuler à l'origine.
Exemple 4
Considérons enfin le système
et envisageons comme « candidate » pour être fonction de Liapounov
.
On a , c'est donc une fonction définie positive et globalement propre. Un calcul simple montre que . La fonction est donc seulement semi-définie positive, puisqu'elle s'annule sur la droite . Le théorème de Liapounov permet de conclure que l'origine est stable (c'est-à-dire que si la condition initiale est voisine de 0, l'état restera proche de 0), mais ne permet pas de conclure qu'elle est asymptotiquement stable. Mais si , alors , donc . De plus, , donc ne peut rester nul que si . On exprime ceci en disant que le plus grand ensemble invariant inclus dans l'ensemble des x tels que se réduit à l'origine. Le théorème de Krasovsky-LaSalle (voir infra) permet alors de conclure que l'origine est globalement asymptotiquement stable.
Conclusion
Ces quatre exemples montrent les points suivants :
(i) La détermination d'une fonction de Liapounov est un problème délicat. Celles des exemples 2 et 4 ont été obtenues après des tâtonnements. Remarque : méthode « du gradient variable » . Si 0 est un point d'équilibre pour l'équation différentielle , où f est une fonction polynomiale, cette méthode peut être utilisée pour rechercher de manière systématique une fonction de Liapounov polynomiale V. On pose que les composantes de son gradient doivent être de la forme . Les étant des fonctions polynomiales choisies de sorte que , il existe V telle que . Si de plus on peut choisir les de sorte que et pour , alors V est une fonction de Liapounov et 0 est un point d'équilibre asymptotiquement stable.
(ii) Les théorèmes de Liapounov, qui sont les plus connus, sont parfois insuffisants, et à l'exemple 4 on n'a pu conclure que grâce au théorème de Krasovsky-LaSalle.
Recadrer ces exemples dans un contexte général demande des développements non triviaux.
Introduction historique
On tente ci-dessous de retracer les grandes étapes de l'évolution de la théorie de la stabilité. Les contributions depuis plus d'un siècle sont innombrables et l'exposé qui suit n'est bien évidemment pas exhaustifPour des compléments sur l'histoire de la notion de stabilité jusqu'à la contribution de Liapounov, le lecteur pourra également consulter .
Stabilité au sens de Lagrange-Dirichlet C'est tout d'abord les systèmes mécaniques dont la stabilité a été étudiée. Soit un système conservatif (c'est-à-dire soumis à des forces qui dérivent toutes d'un potentiel) à n degrés de liberté et le vecteur de ses coordonnées généralisées. Le mouvement vérifie l'équation de Lagrange
où , étant l'énergie cinétique, supposée être une forme quadratique semi-définie positive en , et étant l'énergie potentielle. L'équation de Lagrange s'écrit de manière équivalente
.