En mathématiques, la formule sommatoire d'Abel, nommée d'après son auteur Niels Henrik Abel, est une formule utilisée intensivement en théorie analytique des nombres. Elle sert à calculer des séries numériques.
Énoncé Soient une suite de nombres réels ou complexes et une fonction réelle ou complexe de classe .
On pose
Alors, pour tout réel , .
Démonstration Il s'agit d'une intégration par parties dans une intégrale de Stieltjes, mais ce cas particulier peut se démontrer directement.
La fonction est nulle sur donc si , l'équation se résume à 0 = 0.
Supposons désormais et notons sa partie entière (donc ). La formule de sommation par parties donne :
Exemples Série des entiers En utilisant astucieusement la formule, on peut calculer des sommes et retrouver des résultats usuels. Par exemple, pour et , en prenant entier, on trouve (pour tout réel , ou même > 0) :
On reconnait ici la formule des nombres triangulaires.
Constante d'Euler-Mascheroni Pour et , en notant la partie entière de , on trouve (pour tout réel ≥ 1, ou même > 0) :
dont on déduit une expression intégrale de la constante d'Euler-Mascheroni : .
Séries de Dirichlet Pour toute série de Dirichlet classique
,
la formule sommatoire d'Abel, appliquée à , montre que pour tout nombre complexe s de partie réelle strictement supérieure à 0 et à l'abscisse de convergence de la sérieC'est un cas particulier d'une propriété des séries de Dirichlet générales qui se démontre de la même façon. :
.
Ci-dessous, deux exemples. On en trouvera un autre dans l'article « Fonction de von Mangoldt ».
Fonction zêta de Riemann Pour on obtient : .
Cette formule est valable pour (s) > 1. On en déduit notamment le théorème de Dirichlet selon lequel la fonction zêta de Riemann (s) admet un pôle simple de résidu 1 en s = 1.
Inverse de la fonction zêta de Riemann Pour (la fonction de Möbius) : .
Cette formule est valable pour (s) > 1. Le symbole désigne la fonction de Mertens, définie par .
Note
Catégorie:Théorie analytique des nombres Catégorie:Analyse complexe