vignette|Mouvement brownien d'une particule. vignette|Simulation de mouvement brownien pour cinq particules (jaunes) qui entrent en collision avec un lot de 800 particules. Les cinq chemins bleus représentent leur trajet aléatoire dans le fluide. Le mouvement brownien, ou processus de Wiener, est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule immergée dans un liquide et qui n'est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les « petites » molécules du fluide environnant. Il en résulte un mouvement très irrégulier de la grosse particule, qui a été décrit pour la première fois en 1827 par le botaniste Robert Brown en observant les mouvements spontanés de fines particulesOn sait aujourd'hui que ces particules sont des organites d'amidon (amyloplastes) et de lipides (). éjectées par des grains de pollen de Clarkia pulchella en suspension, puis de diverses autres plantesRobert Brown ; A brief account of microscopical observations made in the months of June, July and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies. Philosophical Magazine 4 (1828), 161-173. Fac-similé disponible au format pdf..
La description physique la plus élémentaire du phénomène est la suivante : entre deux chocs, la grosse particule se déplace en ligne droite avec une vitesse constante ; la grosse particule est accélérée lorsqu'elle rencontre une molécule de fluide ou une paroi.
Ce mouvement permet de décrire avec succès le comportement thermodynamique des gaz (théorie cinétique des gaz), ainsi que le phénomène de diffusion. Il est aussi très utilisé dans des modèles de mathématiques financières.
Aspects historiques Le philosophe et poète latin Lucrèce (60 av. J.-C.) donne une remarquable description du mouvement des particules selon les principes d'Épicure dans son œuvre De la nature des choses :
thumb|Mouvement de sphères ( de diamètre) de latex fluorescentes dans de l'eau.
À l'été 1827, le naturaliste écossais Robert Brown aperçut dans le fluide situé à l’intérieur des grains de pollen de la Clarkia pulchella, de très petites particules agitées de mouvements apparemment chaotiques et non pas les grains de pollen eux-mêmes comme souvent mentionné. Brown n'est pas exactement le premier à avoir fait cette observation. Il signale lui-même que plusieurs auteurs avaient suggéré l’existence d’un tel mouvement (en lien avec les théories vitalistes de l'époque). Parmi ceux-ci, certains l’avaient effectivement décrit. On peut mentionner en particulier l’abbé John Turberville Needham (1713-1781), célèbre à son époque pour sa grande maîtrise du microscope, qui attribua ce mouvement à une activité vitale.
La réalité des observations de Brown a été discutée tout au long du . Compte tenu de la médiocre qualité de l'optique dont il disposait, certains ont contesté qu'il ait pu voir véritablement le mouvement brownien, qui intéresse des particules de quelques micromètres au plus. Les expériences ont été refaites par l’Anglais Brian Ford au début des années 1990, avec le matériel employé par Brown et dans les conditions les plus semblables possiblesBrian J. Ford ; Brownian movement in Clarkia pollen: a reprise of the first observations, The Microscope, 40 (4): 235-241, 1992 Reproduction en ligne de l'article.. Le mouvement a bien été observé dans ces conditions, ce qui valide les observations de Brown (et justifie le nom de mouvement brownien).
En 1900, Louis Bachelier propose un premier modèle mathématique du mouvement brownien et l'applique à la finance.
thumb|Reproduction d'un dessin de Perrin dans Mouvement brownien et réalité moléculaire. Sont représentées ici trois trajectoires de particules de mastic d'environ 1 µm de diamètre. Les positions successives des particules, pointées toutes les 30 secondes, sont reliées par des segments.
En 1905, Albert Einstein donne une description quantitative du mouvement brownien et indique notamment que des mesures faites sur le mouvement permettent d'en déduire leur dimension moléculaire. Jean Perrin réalise ce programme et publie en 1909 une valeur du nombre d'Avogadro, ce qui lui vaut un prix Nobel en 1926. Il décrit également l'extrême irrégularité des trajectoires qui n'ont de tangente en aucun point. On peut trouver un célèbre dessin de Perrin d'observations de particules.
Dans cette même période, le physicien français Paul Langevin développe une théorie du mouvement brownien suivant sa propre approche (1908).
Norbert Wiener donne une définition mathématique en 1923 en construisant une mesure de probabilité sur l'espace des fonctions continues réelles. Il étudie, de manière mathématique, la continuité et non-dérivabilité des trajectoires du mouvement brownien. Il définit également l'intégrale de Wiener (l'intégrale par rapport au mouvement brownien).
En 1933, Paul Lévy démontre que le mouvement brownien est un cas particulier de martingale continue, notion inventée par Jean Ville en 1933, celui où le carré de ce mouvement soustrait de sa valeur temps reste une martingale. Il démontre également que ce cas particulier est le seul parmi les martingales à avoir ces deux propriétés. Ce faisant, il donne la définition du mouvement brownien, c'est-à-dire ses conditions nécessaires et suffisantes. En 1948, il publie le premier grand ouvrage sur le mouvement brownien Processus stochastiques et mouvement brownien. Il apporte alors de nombreux résultats.
Depuis, des études fines sur le mouvement brownien ont été réalisées par de nombreux auteurs. Citons Volker Strassen ainsi que Kiyoshi Itō, lequel développe un calcul différentiel spécifique au mouvement brownien : le calcul stochastique.
Plus récemment, David Baker et Marc Yor ont démontré, à partir du processus Carr-Ewald-Xiao décrit en 2008, que les descriptions de processus aléatoires temporels et continus, en particulier les flux financiers, par le mouvement brownien procédaient bien souvent d'une naïveté basée sur une définition empirique du mouvement brownienF. Hirsch , Peacocks ans associated martingales with explicit constructions, Bocconi & Springer, 2011., les aléas ne pouvant pas toujours être définis de manières indépendantes c'est-à-dire que le drap brownien à n dimensions utilisé l'est abusivement dans un phénomène qui ne possède pas ces n dimensions.
Approche mathématique Notion de processus stochastique La difficulté de modélisation du mouvement brownien réside dans le fait que ce mouvement est aléatoire et que statistiquement, le déplacement est nul : il n'y a pas de mouvement d'ensemble, contrairement à un vent ou un courant. Plus précisément : à un instant donné, la somme vectorielle des vitesses de toutes les particules s'annule (il n'y a pas de mouvement d'ensemble) ; si l'on suit une particule donnée au cours du temps, le barycentre de sa trajectoire est son point de départ, elle « virevolte » autour du même point.
Il est difficile dans ces conditions de caractériser le mouvement. La solution fut trouvée par Louis Bachelier, et présentée dans sa thèse soutenue le . Il démontra que ce qui caractérise le mouvement, ce n'est pas la moyenne arithmétique des positions mais leur moyenne quadratique.
Ainsi, notons la variable aléatoire modélisant la position d'une particule. Si celle-ci se déplace dans un espace de dimension (1 sur une ligne, 2 sur un plan, 3 dans l'espace), est à valeurs dans . Si on prend par convention , la distance quadratique moyenne parcourue par la particule au cours d'un temps vaut :
On démontre alors que ce déplacement quadratique moyen est proportionnel au tempsPour un mouvement rectiligne régulier, c'est le déplacement x(t) qui serait proportionnel au temps. :
où D le coefficient de diffusion qui caractérise le mouvement brownien. Par souci d'homogénéité, on préfère souvent manipuler la moyenne quadratique du déplacement :À l'inverse, la moyenne arithmétique des positions est nulle, le mouvement des particules n'ayant pas de direction privilégiée :
Définition Un mouvement brownien est une martingale telle que est continue, est une martingale.
Descriptions dimensionnelles thumb|300px|Approximation d'un mouvement brownien bidimensionnel par une marche aléatoire de 3 000 pas dont chaque pas est gaussien en abscisse et en ordonnée. thumb|300px|Approximation d'un mouvement brownien tridimensionnel par une marche aléatoire de 1 000 pas dont chaque pas est gaussien en abscisse, en ordonnée et en cote. Définition uni-dimensionnelle
Le mouvement brownien unidimensionnel est un processus stochastique dépendant du temps et vérifiant : (accroissements indépendants) Quels que soient les temps et tels que , l'accroissement est indépendant du processus avant le temps . (accroissements stationnaires et gaussiens) Quels que soient les temps et tels que , l'accroissement est une variable aléatoire normale de moyenne nulle et de variance . est presque sûrement continu, c'est-à-dire pour presque toute réalisation, la fonction est continue. Il est souvent supposé que . On dit alors que le mouvement brownien est standard.
Définition équivalente Le mouvement brownien unidimensionnel est un processus stochastique dépendant du temps et vérifiant : Le processus est un processus gaussien, c'est-à-dire pour tous temps , le vecteur est un vecteur gaussien. est presque sûrement continu. C'est-à-dire pour toute réalisation, la fonction est continue. pour tous et , la moyenne est et la covariance est .
Définition multi-dimensionnelle Le mouvement brownien d-dimensionnel est un processus où les processus sont des mouvements browniens indépendants.
Autrement dit le mouvement brownien d-dimensionnel est à valeurs dans et ses projections sur les espaces sont respectivement des mouvements browniens uni-, bi-, ..., d-1-dimensionnels.
Définition de la mesure de Wiener Considérons l'espace des fonctions continues de dans et un espace probabilisé. Le mouvement brownien est l'application . La mesure de Wiener (ou loi du mouvement brownien), souvent notée , est la mesure-image de par cette application B.
Autrement dit, c'est la mesure de probabilité W sur telle que pour tout , .
Remarques Le mouvement brownien est un processus de Lévy à accroissements gaussiens. Cette définition permet de démontrer des propriétés du mouvement brownien, par exemple sa continuité (presque sûre), le fait que presque sûrement, la trajectoire n'est différentiable nulle part, et de nombreuses autres propriétés. On pourrait également définir le mouvement brownien par rapport à sa variation quadratique moyenne. Cette définition, classiquement appelée théorème de Lévy, donne la caractérisation suivante : un processus stochastique à trajectoires continues dont la variation quadratique est est un mouvement brownien. Ceci se traduit mathématiquement par le fait que pour une filtration donnée, et sont des martingales.
Propriétés Les trajectoires du mouvement brownien sont presque sûrement nulle part dérivables, c'est-à-dire que pour presque tout , la fonction est une fonction continue nulle part dérivable. La covariance est donnée par pour tous réels s et t. Le mouvement brownien a la propriété de Markov forte : pour tout temps d'arrêt T, conditionnellement à , le processus est un mouvement brownien indépendant du processus . Sa transformée de Fourier ou fonction caractéristique est donnée par . On retrouve le fait que le mouvement brownien soit un processus de Lévy sans dérive, sans sauts et de coefficient quadratique 1/2. Le mouvement brownien est homogène en temps : pour tout s > 0, est un mouvement brownien indépendant de . Le processus -B est un mouvement brownien. Propriété de stabilité - Pour tout c > 0, le processus est un mouvement brownien. On dit que le mouvement brownien est stable d'indice 2. Inversion du temps - Le processus qui s'annule en t=0 est un mouvement brownien.