On peut calculer la probabilité d'avoir chaque type de main de 5 cartes au poker.
Bases de calcul et notations Le calcul des probabilités des différentes mains possibles se fait essentiellement par des calculs de combinaisons. Rappelons qu'on note le nombre de combinaisons (sans répétitions) de éléments pris dans un ensemble de éléments. Pour plus de détails sur le calcul de ces nombres, voir la rubrique Combinaison (mathématiques).
Rappelons cependant que pour tout entier, . En effet le nombre de choix possibles d'un élément parmi est tout simplement ... égal à . Et en choisir revient à choisir celui qu'on écarte. Donc dans ce cas aussi il y a possibilités.
Dans ce qui suit on notera le nombre de valeurs. Le nombre total de cartes est donc .
Et on notera le nombre de suites admises.
Pour un jeu de 52 cartes, on a et en comptant les suites de A-2-3-4-5 (suite blanche) à 10-V-D-R-A (suite royale), on obtient . Si la suite blanche n'est pas autorisée, on a seulement . Pour un jeu de 32 cartes, on a et les suites allant de 7-8-9-10-V à 10-V-D-R-A, on obtient .
Poker ouvert : meilleure main sur 7 cartes Dans le Texas Hold'em ou le Stud à sept cartes, il s'agit de former la meilleure main de cinq cartes parmi sept.
+Probabilité de chaque main au poker ouvertMain 52 cartes (quinte étendue) 32 cartesCombinaisonsProbabilitéCombinaisonsProbabilitéQuinte flush 0,031 % 0,158 %Carré 0,168 % 0,779 %Full 2,596 % 10,621 %Couleur 3,025 % 1,760 %Quinte 4,619 % 15,597 %Brelan 4,830 % 7,817 %Deux paires 23,496 % 42,226 %Paire 43,823 % 20,119 %Carte haute 17,412 % 0,923 %Total 100,0 % 100,0 %
Détails du calcul : Soit N le nombre de valeurs (N=13 pour un jeu de 52 cartes, et N=8 pour un jeu de 32 cartes).
Total Il y a 4N cartes dans le paquet, il y a donc mains de 7 cartes possibles.
Quinte flush royale Une quinte flush royale est déterminée par la valeur de sa carte haute (c'est un As), par sa couleur (4 possibilités), et par les 2 cartes libres ( possibilités).
Il y a donc mains de 7 cartes donnant une quinte flush royale.
Quinte flush Une quinte flush est déterminée par le nombre de suites possibles (S = 10 possibilités en comptant la suite blanche), par sa couleur (4 possibilités), et par les 2 cartes libres. La quinte flush royale étant une sous classe de la quinte flush.
Dans chaque couleur :
quintes se terminent par une carte strictement inférieure à l'As, on ne peut les compléter que par une carte différente de la carte immédiatement supérieure à la plus haute. On choisit donc les deux autres cartes parmi 4N-6. quinte se termine par un As, on peut la compléter par toute autre carte du jeu. On choisit donc les deux autres cartes parmi 4N-5.
Il y a donc mains de 7 cartes donnant une quinte flush.
Carré Un carré est déterminé par la valeur du carré ( valeurs possibles), et par les 3 cartes libres ( possibilités).
Les 3 cartes libres ne peuvent pas former de quinte flush, puisqu'il faudrait 2 cartes de plus, et que les 4 cartes restantes de la main ont même valeur.
Il y a donc mains de 7 cartes donnant un carré.
Full Il y a 3 façons de construire un full: un brelan, une paire, et deux cartes libres différentes deux brelans et une carte libre un brelan et deux paires
Pour chacune de ces façons, la main est déterminée par : le brelan ( possibilités), la paire ( possibilités), et les valeurs des deux cartes libres (leurs valeurs sont différentes, leurs couleurs libres, donc possibilités). les deux brelans ( possibilités) et la carte libre ( possibilités). le brelan ( possibilités) et les paires ( possibilités)
Aucune de ces combinaisons ne peut être un carré puisque l'on interdit aux paires d'avoir la même valeur, et aux cartes libres d'avoir la même valeur que les brelans ou les paires. Aucune de ces combinaisons ne peut être une quinte flush, puisqu'il y a 4,3 et 3 valeurs différentes.
Il y a donc
ou encore :
soit finalement :
mains de 7 cartes donnant un full.
Couleur Il y a 3 façons d'obtenir une couleur : 5 cartes de même couleur, 2 cartes libres de couleurs différente 6 cartes de même couleur, 1 carte libre de couleur différente 7 cartes de même couleur
Pour chacune de ces façons, la main est déterminée par: les 5 cartes ( possibilités), leur couleur ( possibilités) et les deux cartes libres ( possibilités). les 6 cartes ( possibilités), leur couleur ( possibilités), la carte libre ( possibilités). les 7 cartes ( possibilités) et leur couleur ( possibilités).
Les cartes libres éventuelles ne peuvent former ni full ni carré, puisqu'au mieux elles forment un brelan avec l'une des 5 cartes.
Parmi toutes les mains couleur obtenues on retrouve les quintes flush. Il faut donc décompter celles-ci.
Il y a donc mains de 7 cartes donnant une couleur.
Quinte
Il y a 4 façons d'obtenir une Quinte avec 7 cartes : aucune paire, 7 valeurs différentes
La main est alors déterminée par la valeur de la quinte (S possibilités), la valeur des deux cartes libres ( possibilités), et la couleur des 7 cartes ( possibilités).
Cependant, si la quinte n'est pas à l'As, l'une des deux cartes libres peut l'améliorer, et ainsi on compte plusieurs fois la même main. Il suffit d'interdire les cartes juste au-dessus de la quinte, pour les 2 cartes libres. Il y a alors valeurs possibles pour les 2 cartes libres.
Cette main ne peut être ni un full ni un carré, puisque les valeurs sont toutes différentes. Elle peut être une couleur, éventuellement une quinte flush, si parmi les 7 couleurs 5 sont identiques, ce qui arrive dans combinaisons de couleurs. Il faut donc restreindre le nombre de combinaisons de couleurs à .
En tout, .
une paire, 6 valeurs différentes la main est alors déterminée par la valeur de la quinte (S possibilités), la valeur de la carte libre, ( possibilités), la valeur de la paire ( possibilités), les couleurs des cartes de la paire ( possibilités) et la couleur des cartes de la quinte ( possibilités).
Cependant, si la quinte n'est pas à l'As, la carte libre peut l'améliorer, et ainsi on compte plusieurs fois la même main. Il suffit d'interdire les cartes juste au-dessus de la quinte, pour la carte libre. Il n'y a donc plus que valeurs possibles pour la carte libre.
Cette main ne peut être ni un full ni un carré, puisque hormis la paire, les valeurs sont toutes différentes. Elle peut être une couleur, éventuellement une quinte flush, si parmi les 7 couleurs 5 sont identiques. Il y a 2 façons que ça arrive (une fois choisie les deux couleurs des cartes de la paire) : les 5 cartes qui ne font pas partie de la paire sont de la même couleur ( possibilités) parmi les 5 cartes qui ne font pas partie de la paire, 4 ont la même couleur qu'une des 2 cartes de la paire ( possibilités).
Ces deux nombres sont à soustraire du nombre de combinaisons de couleurs de la quinte. Soit 1024 -4-30=990.
En tout, il y a
soit possibilités.
deux paires, 5 valeurs différentes La main est alors déterminée par la valeur de la quinte (S possibilités), la valeur des paires ( possibilités), les couleurs des cartes des deux paires ( possibilités) et la couleur des trois cartes restantes de la quinte ( possibilités).
Les deux cartes libres forment chacune une paire avec une carte de la quinte, elles ne peuvent donc pas l'améliorer.
Cette main ne peut être ni un full ni un carré, puisque hormis les deux paires, les valeurs sont différentes.
Elle peut être une couleur, éventuellement une quinte flush, si parmi les 7 cartes, 5 sont de même couleur. La couleur commune à ces 5 cartes est forcément celle de l'une des 2 cartes de chaque paire et celle des 3 cartes qui ne font pas partie d'une paire, puisque deux cartes d'une même paire ont des couleurs différentes. Une fois choisies les couleurs de la première paire, il y a alors parmi les 6 choix possibles des couleurs de la deuxième paire : un cas où la seconde paire a les deux couleurs restantes : pas possible on aurait 4 couleurs; un cas où la seconde paire a les mêmes couleurs que la première : 2 possibilités pour la couleur de la quinte ; 4 cas où les deux paires ont une unique couleur en commun : 1 seule possibilité pour la couleur de la quinte ;
Cela revient à enlever 0+2+4x1=6 possibilités parmi les 6x64 choix de couleurs de la seconde paire et de la quinte. Ou encore en moyenne 1 choix parmi les 64 choix de couleurs de la quinte. Il n'en reste donc plus que 63.
Il y a donc possibilités.
un brelan, 5 valeurs différentes La main est alors déterminée par la valeur de la quinte ( possibilités), la valeur des cartes du brelan (5 possibilités), les couleurs des cartes du brelan ( possibilités), et la couleur des quatre cartes restantes de la quinte ( possibilités).
Les deux cartes "libres" formant en fait un brelan avec l'une des cartes de la quinte, elles ne peuvent pas l'améliorer.
Cette main ne peut être ni un full ni un carré, puisque hormis le brelan, les valeurs sont différentes. Elle peut être une couleur, éventuellement une quinte flush, si parmi les 7 couleurs, 5 sont identiques. Ces 5 couleurs utilisent forcément une couleur du brelan, et les 4 cartes restantes de la quinte : 3 possibilités.
En tout,
Au total il y a donc
ou encore :
mains de 7 cartes formant une quinte.
Ce qui donne pour un jeu de 52 cartes (N=13 et S=10) :
.(28 + 9.21) + .(8 + 9.7) + =
Brelan Un brelan est déterminé par les 5 valeurs (le brelan et les 4 cartes libres, possibilités), la valeur du brelan parmi celles-ci ( possibilités), les couleurs des cartes du brelan ( possibilités), et par les quatre cartes libres.
Cette main devient une suite, si les 5 valeurs se suivent (S possibilités à exclure sur les ).
Pour que cette main ne soit ni un carré, ni un full, il faut que les valeurs des quatre cartes libres soient différentes deux à deux et différentes de la valeur du brelan ( possibilités).
Par contre leurs couleurs sont libres ( possibilités).
Cette main devient une couleur, si les 4 cartes libres ont la même couleur que l'une des cartes du brelan (3 possibilités à exclure sur les 256, ce qui ne donne plus que 253).
Il y a donc mains de 7 cartes formant un brelan.
On peut également noter que certains brelans sont plus probables que d'autres. En effet le nombre de mains à éliminer (car elles sont en fait des suites) dépend de la valeur du brelan. Pour le brelan à l'As, par exemple il faut éliminer les suites à l'As et celles au 5 (celles qui contiennent un brelan). Tandis que pour le brelan au 10 il faut éliminer les suites à l'As, au Roi, à la Dame, au Valet et au dix (idem).
Deux paires Deux façons de faire deux paires avec 7 cartes : 3 paires et 1 carte libre 2 paires et 3 cartes libres
Dans le premier cas la main est déterminée par :
la valeur des 3 paires ( possibilités), les couleurs des cartes de chaque paire ( possibilités), la valeur de la carte libre ( possibilités) et sa couleur.
Une telle main ne peut pas être un brelan, un full, ou un carré. Elle ne peut pas être une suite puisqu'il n'y a que 4 valeurs différentes. Elle ne peut pas être une couleur, puisque les 3 paires apportent au plus 3 cartes de même couleur, avec la carte libre il ne peut y avoir que 4 cartes de même couleur.
En tout, .
Dans le deuxième cas la main est déterminée par :
les 5 valeurs ( possibilités), les valeurs des 2 paires parmi ces 5 valeurs ( possibilités, les couleurs des cartes des deux paires ( possibilités), et les couleurs des 3 cartes libres.
Une telle main ne peut pas être un brelan, un full, ou un carré.
Elle peut être une suite, si les 5 valeurs se suivent (S possibilités).
Elle peut être une couleur, si les deux paires ont au moins une couleur en commun et que les 3 cartes libres ont cette couleur: - si les deux paires ont les mêmes couleurs (dans 1 cas sur les de la couleur de la seconde paire), 2 possibilités pour la couleur commune ; - si les deux paires ont une unique couleur en commun (dans cas de la couleur de la seconde paire), 1 possibilité pour la couleur commune ;