En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, dans le cadre de la théorie des corps, une tour d'extensions quadratiques est une suite finie K, … , K de corps commutatifs dont chacun est une extension quadratique du précédent. Le corps K est alors une extension finie de degré 2 de K. Si de plus la caractéristique de ces corps n'est pas 2, alors ces extensions sont séparables.

La notion est naturellement liée à celle de construction à la règle et au compas : la construction du polygone régulier à 17 côtés (découverte par Gauss en 1796) peut s'analyser en termes d'une suite d'extensions quadratiques ; le théorème de Wantzel (Wantzel 1837) permet de caractériser les nombres constructibles à la règle et au compas en termes de tour d'extensions quadratiques. Ce théorème a permis de clore certaines grandes questions ouvertes des mathématiques de la Grèce antique, comme la duplication du cube et la trisection de l'angle. L'étude de ces extensions permet, grâce à la théorie de Galois, une démonstration du théorème de Gauss-Wantzel, qui donne la liste des polygones réguliers constructibles à la règle et au compas.

Beaucoup d'auteurs utilisent la notion directement, sans lui attribuer un nom particulier, et parlent, à l'occasion, simplement de suite d'extensions quadratiques.

Exemples Toute extension quadratique est une tour (à un seul élément) d'extensions quadratiques, mais la notion de tour n'est pas vraiment pertinente dans ce cas : le concept d'extension quadratique est suffisant. Soient a un entier, n un entier naturel, p = 2n et r une racine p-ième de a. Alors, ℚ(r) est le dernier corps d'une tour d'extensions quadratiques sur ℚ de longueur inférieure ou égale à n. En effet, si l'on note r = r et, pour k de n à 1, r = r, alors ℚ(r) est une extension de degré 1 ou 2 de ℚ(r) et ℚ(r) = ℚ(a) = ℚ. En revanche, l'extension ℚ(r) de ℚ n'est pas normale en général : par exemple pour et a = 2, deux des quatre conjugués sur ℚ de la racine quatrième de 2 sont non réelles, or l'extension ℚ() est réelle. Soit n un entier dont l'indicatrice d'Euler est une puissance de 2 ; alors l'extension cyclotomique d'une racine primitive de l'unité d'ordre n se décompose en tour d'extensions quadratiques. Ce résultat est établi dans l'article « Théorème de Gauss-Wantzel » pour les cas n = 5 et n = 17. Il est établi de manière générale dans le paragraphe « Propriétés galoisiennes » ci-dessous.

Propriétés galoisiennes Lorsqu'une extension L/K est constituée des deux extrémités d'une tour d'extensions quadratiques, son degré est, par construction, une puissance de 2. La réciproque est vraie si l'extension est galoisienne :

Or une extension algébrique L/K est galoisienne si et seulement si elle est à la fois normale (contrairement, par exemple, à ℚ()/ℚ : ci-dessus) et séparable (c'est-à-dire que les polynômes minimaux sur L des éléments de K n'ont pas de racines multiples) et cette seconde condition est facile à satisfaire :

Clôture quadratique

Soient x et y deux éléments de cette réunion L, F le dernier corps d'une tour d'extensions quadratiques contenant x et K = K(y), K = K(y), … , K = K(y) une tour d'extensions quadratiques telle que K contienne y. Alors la tour finissant par F, prolongée par F = F(y), F = F(y), … , F = F(y), est une suite croissante d'extensions de degrés 1 ou 2 et F contient K(x, y), qui est donc inclus dans L.

(Une démonstration graphique dans le cas particulier ou K est un sous-corps de ℝ est présentée dans l'article « Nombre constructible ».)

C'est donc une extension algébrique de K, et c'est sa plus petite extension quadratiquement close. On l'appelle la clôture quadratique de K.

La clôture quadratique de ℚ est le corps des nombres complexes constructibles (une définition géométrique équivalente est donnée dans l'article « Nombre constructible », le plan complexe étant alors identifié au plan euclidien). C'est une extension de degré infini. En effet, pour toute puissance p de 2, elle contient par exemple ℚ(), qui est de degré p sur ℚ.

Résultats géométriques

Les propriétés précédentes montrent que : tout nombre constructible est algébrique de degré une puissance de 2, ce qui résout par la négative trois des problèmes de l'Antiquité : la duplication du cube n'a pas de solution constructible (à la règle et au compas) ; la trisection d'un angle quelconque non plus car le n-gone régulier n'est pas constructible si n n'est pas le produit de nombres de Fermat premiers distincts par une puissance de 2 ; tout élément d'une extension normale de ℚ de degré une puissance de 2 est constructible, démontre de façon , :, ce qui montre que réciproquement : la condition nécessaire ci-dessus pour que le n-gone régulier soit constructible est également suffisante (en raisonnant sur la n-ième extension cyclotomique).

La condition nécessaire pour qu'un complexe z soit constructible (qui est que son degré soit une puissance de 2) n'est, elle, pas suffisante en général, puisque pour tout entier n ≥ 2, il existe une infinité de polynômes (irréductibles et de degré n) à coefficients entiers dont le groupe de Galois sur ℚ est le groupe symétrique SVoir § « Contre-exemples en tout degré supérieur ou égal à 5 » de l'article sur le théorème d'Abel..

Notes et références

Voir aussi Liens externes

Bibliographie

Catégorie:Théorie de Galois Catégorie:Entier quadratique