vignette|upright=1.5|droite|Fonction convexe.
En mathématiques, une fonction réelle d'une variable réelle est dite convexe : si quels que soient deux points et du graphe de la fonction, le segment est entièrement situé au-dessus du graphe, c’est-à-dire que la courbe représentative de la fonction se situe toujours en dessous de ses cordes ; ou si l'épigraphe de la fonction (l'ensemble des points qui sont au-dessus de son graphe) est un ensemble convexe ; ou si vu d'en dessous, le graphe de la fonction est en bosse.
En précisant au moyen des valeurs de la fonction ce que sont les points et ci-dessus, on obtient une définition équivalente souvent donnée de la convexité d'une fonction : une fonction définie sur un intervalle réel est convexe lorsque, pour tous et de et tout dans on a :
Lorsque l'inégalité est stricte (avec différent de et dans ), on parle de fonction strictement convexe.
La fonction carré et la fonction exponentielle sont des exemples de fonctions strictement convexes sur l'ensemble réel .
Ces définitions se généralisent aux fonctions définies sur un espace vectoriel (ou affine) arbitraire et à valeurs dans la droite réelle achevée .
À l'inverse, une fonction dont un même segment est situé en dessous du graphe, ou dont l'hypographe (l'ensemble des points qui sont en dessous du graphe de la fonction) est un ensemble convexe, ou encore dont, vu d'en dessous, le graphe est en creux, est dite concave. En d'autres termes, une fonction est concave si son opposée est convexe. Ainsi, les fonctions affines sont à la fois convexes et concaves.
Les fonctions convexes sont, avec les ensembles convexes, les objets constitutifs de l'analyse convexe, une discipline « intermédiaire » entre l'algèbre linéaire et l'analyse non linéaire. Elles permettent de démontrer un grand nombre d'inégalités remarquables, dites inégalités de convexité. Elles jouent aussi un rôle singulier en optimisation, en supprimant la distinction entre minima locaux et globaux (tout minimum local d'une fonction convexe est un minimum global).
Fonction convexe d'une variable réelle droite
Dans cette première section, on va supposer que l'ensemble de départ est un intervalle réel . Cette restriction permet de fournir une première initiation aux fonctions convexes d'abord plus aisée et parce que la possibilité de tracer des représentations graphiques planes facilite certainement la tâche, ensuite et surtout parce que les concepts de continuité ou dérivabilité sont significativement plus maniables pour les fonctions d'une seule variable. Cette approche montre tout de même vite ses limites, en particulier parce qu'elle n'est guère pertinente pour appliquer la théorie des fonctions convexes à l'optimisation qui en est sans doute la principale motivation.
Définitions
Cela signifie que pour tout et de , le segment de , où et , est situé au-dessus de la courbe représentative de .
Une fonction concave est une fonction dont la fonction opposée est convexe.
On vérifie aussitôt ce qui suit, reliant les notions d'ensemble convexe et de fonction convexe :
Exemple La fonction est convexe, parce que son épigraphe est un quart de plan (lui-même convexe comme intersection de deux demi-plans). Il est souvent malcommode de vérifier la convexité d'une fonction définie par une formule concrète à partir de la seule définition, on attendra donc quelques paragraphes pour donner d'autres exemples, lorsqu'on disposera d'un critère de convexité plus utilisable en pratique.
Possibilité de n'utiliser que des milieux
La définition de la convexité fait apparaître des barycentres où les coefficients sont des réels arbitraires de . Lorsqu'on ne fait porter l'hypothèse que sur les milieux, elle s'étend aux isobarycentres :
Le « principe de récurrence alternatif » suivant démontre ce lemme. Si la condition est vraie pour alors elle l'est pour car
Si elle l'est pour alors elle l'est pour car en posant
on obtient
c'est-à-dire
En ajoutant une hypothèse supplémentaire de régularitéUne hypothèse de ce type est indispensable, car toutes les solutions de l'équation fonctionnelle de Cauchy satisfont . de , on obtient :
Extension à des barycentres de plus de deux points
L'inégalité de la définition s'étend comme suit (on peut le démontrer par récurrence sur l'entier Démonstration de. ou par le même argument que dans la proposition ci-dessus, repris dans .. On dénomme parfois cette version l'inégalité de Jensen :
Géométrie du graphe d'une fonction convexe
On appelle parfois « lemme des trois cordes » ou « inégalité des pentes » voire « inégalité des trois pentes » le résultat suivantCe résultat est cité par , qui l'attribuent à L. Galvani, renvoyant à son article « Sulle funzioni convesse di una o due variabili, definite in un aggregato qualunque », Rend. Circ. Mat. Palermo, vol. 41, 1916, . :
Régularité des fonctions convexes
Le « lemme des trois cordes » permet de montrer queVoir , qui attribuent les deux premiers points à Otto Stolz, renvoyant à son traité , vol. 1, Teubner, Leipzig, 1893. :
On peut préciser les deux premiers points par : une fonction définie sur un intervalle ouvert est convexe si et seulement si et sont définies et croissantes sur .
On démontre par ailleurs que est aussi localement lipschitzienne.
Cas des fonctions dérivables vignette|La fonction est convexe sur ℝ et concave sur ℝ. On dispose de deux caractérisationsCf. . :
On déduit de la seconde caractérisation : que toute fonction convexe et dérivable (sur un intervalle réel) est de classe CÉnoncé dans (prop. 5.44) et démontré dans Pour une généralisation aux fonctions convexes d'une variable vectorielle, voir . ; le corollaire suivant, fort pratique pour vérifier sans mal la convexité d'exemples spécifiques :
Ainsi, on peut désormais facilement ajouter à sa collection de fonctions convexes (ou concaves) les exemples suivants : la fonction puissance est concave si et convexe sinon ; pour tout entier positif , la fonction est convexe si est pair (si est impair, elle est convexe sur et concave sur ) ; la fonction est convexe ; la fonction est concave.
Stricte convexité
En faisant intervenir des inégalités strictes, on dispose d'une variante de la convexité : la stricte convexité.
Les résultats énoncés plus haut pour des fonctions convexes s'adaptent généralement sans mal aux fonctions strictement convexes.
De même que les fonctions dérivables convexes sont celles qui ont une dérivée croissante, les fonctions dérivables strictement convexes sont celles qui ont une dérivée strictement croissante.
D'après le lien entre monotonie et signe de la dérivée, une fonction deux fois dérivable est donc strictement convexe si et seulement si est positive et ne s'annule que sur un ensemble d'intérieur vide.
Exemple est strictement convexe (sa dérivée seconde est positive et ne s'annule qu'en 0).
Fonction convexe définie sur un espace vectoriel Définitions Convexité
On peut donner au moins deux définitions légèrement différentes d'une fonction convexe de plusieurs variables réelles (ou plus généralement : d'une variable vectorielle), qui reviennent essentiellement au même mais ne fournissent néanmoins pas exactement les mêmes fonctions. On prendra donc garde au contexte lors d'une invocation d'une de ces définitions pour comprendre s'il s'agit ou non de fonctions susceptibles de prendre des valeurs infinies.
Autrement dit : est convexe si sa à tout segment est une fonction convexe de la variable réelle ..
Étant donné une fonction convexe au sens de la définition 1, on peut lui associer une fonction convexe au sens de la définition 2 en la prolongeant hors de par la valeur ; réciproquement, étant donné une fonction convexe au sens de la définition 2, l'ensemble est un convexe et la restriction de à est une fonction convexe au sens de la définition 1. Les deux transformations sont réciproques l'une de l'autre : les deux définitions, quoique techniquement distinctes, décrivent bien la même notion.
Certaines sources requièrent de plus que soit non vide (dans la définition 1) ou que ne soit pas la constante (dans la définition 2) pour prévenir certaines exceptions désagréables dans quelques énoncés. Une telle fonction de dans est dite proprePour l'ensemble de cette sous-section, voir ..
La définition 2 est plus récente que la définition 1 et fut introduite indépendamment par Rockafellar et MoreauSelon ce qu'en dit R. T. Rockafellar dans le CIM Bulletin.. Elle permet de définir une fonction convexe comme un seul « objet » (une fonction définie sur un espace vectoriel ayant une propriété bien particulière) et non comme un couple formé d'un ensemble convexe d'un espace vectoriel et d'une fonction à valeurs réelles définie sur cet ensemble convexe. La définition 2 est la plus communément utilisée en analyse convexe, pour les raisons suivantes : d'une part, elle allège souvent l'expression des résultats et, d'autre part, elle permet de ne pas devoir préciser le convexe sur lequel est définie une fonction convexe obtenue par l'une des constructions standards de l'analyse convexe, comme l'enveloppe supérieure, la fonction d'appui, la fonction marginale, la fonction conjuguée, la fonction duale en optimisation
Stricte convexité
Soit un espace vectoriel (ou affine) réel. On dit qu'une fonction est strictement convexe si, pour tous et distincts dans et tout dans , on a :
Forte convexité
Soit un espace normé. On dit qu'une fonction est fortement convexe, de module si, pour tous et dans et tout dans , on a :
On retrouve la notion de fonction convexe lorsque .
Exemples de fonctions convexes
Voici quelques exemples de constructions de fonctions convexes : produit d'une fonction convexe par un réel positif ; somme de deux fonctions convexes (de plus, si est strictement convexe et est convexe alors est strictement convexe) ; exponentielle d'une fonction convexe ou plus généralement, fonction composée d'une fonction réelle convexe croissante par une fonction convexe Cf. . ; fonction convexe polyédrique ; fonction d'appui d'un ensemble et plus généralement : fonction sous-linéaire, fonction conjuguée d'une fonction de dans ; fonction indicatrice (au sens de l'analyse convexe) d'un ensemble convexe ; fonction marginale dont les valeurs sont obtenues en minimisant une seconde fonction paramétrée par ses arguments.
Voici des exemples concrets de fonctions convexes ou concaves : les applications à la fois convexes et concaves sont les applications affines ; une forme quadratique , associée à une forme bilinéaire symétrique , est convexe si, et seulement si est positive. Elle est strictement convexe si et seulement si est définie positive ; la fonction log-det : sur le convexe des matrices définies positives (dans l'espace des matrices symétriques réelles d'ordre ) est concave.
Propriétés élémentaires
Pour tout espace vectoriel topologique de dimension infinie, il existe des fonctions convexes de domaine qui ne sont pas continues : par exemple les formes linéaires non continues sur .
Cependant, une proportion significative de résultats valables pour des fonctions convexes d'une variable se reproduisent à l'identique pour des fonctions convexes sur une partie d'un espace vectoriel, soit qu'on se ramène pour les prouver à considérer la restriction de la fonction à une droite, soit que la démonstration soit une simple révision de la version à une variable. En voici quelques-unes :
une fonction convexe est une fonction dont l'épigraphe est convexe. ; dans un espace vectoriel topologique, une fonction qui vérifie l'inégalité de convexité pour les seuls milieux et qui est continue est convexe ; une fonction convexe vérifie l'inégalité de Jensen.
Minorante affine