En mathématiques, un carré magique d’ordre n est un tableau carré composé de n entiers strictement positifs disposés de sorte que leurs sommes sur chaque ligne, sur chaque colonne et sur chacune des deux diagonales principales soient égales. On nomme alors constante magique (et parfois densité) la valeur de ces sommes.

Un carré magique normal est un cas particulier de carré magique, constitué de tous les nombres entiers de 1 à n, où n est l’ordre du carré.

Histoire

Les carrés magiques étaient connus des mathématiciens chinois, à partir de 650 av. J.-C. Mark Swaney, Magic Squares., et des mathématiciens arabes, probablement vers le , lorsque les armées arabes firent la conquête du nord-ouest de l'Inde, apprenant des mathématiciens indiens, ce qui incluait certains aspects de la combinatoire. Les premiers carrés magiques d'ordres 5 et 6 apparurent dans une encyclopédie publiée à Bagdad vers 983, les Rasa'il Ikhwan al-Safa (Les Épîtres des Frères en pureté). Des carrés magiques plus simples étaient connus de plusieurs mathématiciens arabes antérieurs. Quelques-uns de ces carrés furent utilisés en conjonction avec des « lettres magiques » par des illusionnistes et des magiciens arabesShams al-Ma'arif al-Kubra () contient des informations sur Ahmed bin Ali Al-boni, décédé vers 1225 (622 AH). Réimpression à Beyrouth en 1985..

Les Arabes seraient les premiers, au , à les utiliser à des fins purement mathématiques. Ahmad al-Buni, un berbère, vers 1250 leur attribue des propriétés magiques.

En Chine, ils furent représentés par différents symboles (ainsi en est-il par exemple du carré Xi'an), puis symbolisés par des chiffres en Inde où furent inventés les chiffres arabes. On les retrouve dans de nombreuses civilisations d'Asie et d'Europe avec généralement une connotation religieuse.

En 1510, le philosophe allemand Cornelius Agrippa (1486-1535), parle de nouveau des carrés magiques, avec toujours une connotation religieuse, il écrit un traité De Occulta Philosophia où il expose une théorie mêlant astrologie et carrés magiques. S'appuyant sur les écrits de Marsile Ficin et de Jean Pic de la Mirandole, il explique les propriétés de sept carrés magiques d'ordre 3 à 9, chacun étant associé à l'une des planètes astrologiques. Cet ouvrage eut une influence marquée en Europe jusqu'à la Contre-Réforme. Jérôme Cardan (Practica arithmetica et mensurandi singulari, 1539) puis Athanasius Kircher (Œdipus Ægyptiacus, 1653) poursuivent la même analogie entre l'arithmétique et l'ordre cosmique des planètes. Les carrés magiques d'Agrippa continuent à être utilisés lors de cérémonies magiques modernes selon ce qu'il a prescrit Mark Swaney, History of Magic Squares...

Simon de La Loubère, diplomate et mathématicien français, publie en 1691 Du Royaume de Siam. Il introduit pour la première fois dans la langue française le terme « carré magique », et expose une nouvelle méthode de construction, dite « méthode siamoise », permettant de construire des carrés d'ordre impair arbitraire.

Au , le juriste et mathématicien français Pierre de Fermat étend le principe des carrés magiques aux cubes magiques. Bernard Frénicle de Bessy écrit un traité sur les carrés magiques (rédigé dans les années 1640, mais publié à titre posthume en 1693) et des tables pour tous les carrés d'ordre 4.

Propriétés

Il existe des dispositions magiques pour tout carré d'ordre n ≥ 1. Le carré d'ordre 1 est trivial, n'importe quel nombre indiqué dans l'unique case permet de satisfaire les règles. Le carré d'ordre 2 est également trivial puisqu'il n'est possible qu'en répétant le même nombre dans les quatre cases. Le plus petit cas non trivial est le carré d'ordre 3 (à l'exception des carrés contenant partout le même nombre).

Tout carré magique d'ordre 3 s'écrit comme somme d'une matrice circulante et d'une matrice anticirculante. Cette décomposition n'est pas unique et n'a plus lieu dans les dimensions supérieures.

La constante magique d'un carré magique normal dépend uniquement de n et vaut : n(n + 1)/2. En fonction de l'ordre n = 3, 4, 5, 6, 7, 8… elle vaut ainsi : 15, 34, 65, 111, 175, 260…Voir la .. En excluant les rotations et les réflexions, le nombre de carrés magiques normaux pour les dimensions 1 à 5 est donné par la suite : 1, 0, 1, 880, Voir la suite de l'OEIS.. Le nombre de carrés magiques pour les dimensions supérieures était inconnu en 1999., et l'est probablement toujours en 2016. Pour information, Pinn et Wieczerkowski en 2004 estiment que pour le carré magique d'ordre 6, le nombre est d'environ , soit plus de de milliards.

Si l'on relie les nombres de certains carrés magiques dans l'ordre croissant, on obtient une figure qui présente une symétrie centrale (voir image ci-contre). Cette propriété est fausse dans le cas généralVoici un contre-exemple d'ordre 5 : 1 24 3 25 12 16 7 21 6 15 23 14 18 8 2 5 9 10 22 19 20 11 13 4 17 .

Opérations Les sommes des deux carrés magiques des mêmes ordres donnent également des carrés magiques, mais le résultat n'est pas normal, c'est-à-dire que les nombres ne forment pas la suite 1, 2, 3... Également, la différence de deux carrés magiques du même ordre donne également un carré magique, mais qui n'est pas normal.

Le « produit » de deux carrés magiques crée un carré magique d'ordre supérieur aux deux multiplicandes. Ce produit s'effectue ainsiUne méthode semblable est proposée sur .. Soit les carrés magiques M et N : Le carré final sera d'ordre M×N. Diviser le damier final en N×N sous-damiers de M×M cases. Dans le carré N, réduire de 1 la valeur de tous les nombres. Multiplier ces valeurs réduites par M×M. Les résultats sont reportés dans les cases de chaque sous-damier correspondant du carré final. Les cases du carré M sont additionnées N×N fois aux cases du damier final.

thumb|center|upright=1.5|Soit à effectuer le « produit » de ces deux carrés magiques, un de 3×3 et l'autre de 4×4. Le carré magique final sera de 12×12.

thumb|center|upright=1.5|Le carré magique de 3×3 est remplacé par le produit 3×3, alors que chaque nombre du carré 4×4 est diminué de 1. Le damier final, de taille 12×12, est divisé en 4×4 sous-damiers, chacun ayant 3×3 cases. Chacune de ses cases s'obtient en multipliant 3×3 par l'une des cases du carré magique 4×4 « diminué ». Par exemple, 117 est le produit 3×3×13. Ce carré est magique, mais n'est pas normal. La prochaine étape va « corriger » cette « anomalie ».

thumb|center|upright=1.5|Après 4×4 additions du carré 3×3, le carré final est magique et normal.

La multiplication de carrés magiques permet de générer des carrés magiques de plus grandes tailles. Cette technique produit plus rapidement des carrés de grande taille que la construction à l'aide de l'une des méthodes directes (celles de La Loubère ou de Strachey, par exemple).

Méthodes de construction En 1976, Benson et Jacoby ont publié une méthode qui s'applique tant aux carrés magiques d'ordre pair que d'ordre impair. Elle est cependant plus difficile à appliquer que d'autres méthodes « spécialisées ». Pour cette raison, elle ne sera pas expliquée dans cet article.

Il existe plusieurs méthodes directes pour construire les carrés d'ordre impair et les carrés d'ordre pair.. Parmi les méthodes de construction indirectes, il en existe au moins trois. La multiplication de carrés magiques en est une (voir la section Opérations). Si un carré magique est déjà construit, il est possible d'en dériver d'autres par permutations de ses colonnes et de ses rangées. Finalement, il est possible d'en créer un en « bordant » un carré magique déjà construit : c'est le carré magique à enceinte.

Ordre impair

Ordre 3 Au , Édouard Lucas a trouvé une formule générale pour les carrés magiques d'ordre 3. Avec et des entiers relatifs.:

Ces 9 nombres seront entiers et distincts formant un carré magique si et . De plus, tout carré 3 × 3 de nombres entiers positifs distincts est de cette forme. Le carré magique normal d'ordre 3 correspond à a = 1, b = 3, c = 5. Le (un ancien carré magique indien) s'en déduit en ajoutant 19 dans chaque case donc correspond à a = 1, b = 3, c = 24.

Méthode du damier crénelé Cette méthode de construction a été publiée en 1612 par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac dans Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres. Elle se base sur un damier crénelé.

Par exemple, pour un carré magique de côté 5 :

thumb|center|upright=2.4|Premières étapes de construction d'un carré magique d'ordre 5. Chaque diagonale allant de gauche à droite comporte un entier unique en ordre croissant. Ensuite, le contour du carré magique final est esquissé.

thumb|center|upright=2.0|Dernières étapes de construction d'un carré magique d'ordre 5. Chaque case qui se trouve en dehors du contour est déplacée de cinq places en direction du centre. Une fois les déplacements effectués, le carré magique final est complet.

Méthode siamoise La méthode siamoise a été introduite en France par Simon de La Loubère en 1688 alors qu'il revenait de son ambassade au Siam..

thumb|upright=0.8|Un carré magique d'ordre 5 construit selon la méthode de Moschopoulos.

La méthode exposée par La Loubère peut être généralisée. Supposons que nous nous déplacions dans un plan cartésien. Dans la figure plus haut, aller en diagonale vers la droite et vers le haut revient à effectuer la translation (1, 1). Lorsqu'il y a une collision, c'est-à-dire que la prochaine case est occupée, il y a une translation (0, –1). Philippe de La Hire a établi les conditions pour lesquelles un carré d'ordre N est magique. Les coordonnées du vecteur « déplacement » (C, L) et du vecteur « collision » doivent respecter les conditions suivantes. (cet auteur propose un tableau de vecteurs construit à partir de considérations semblables à ). : C, c, L et l sont des entiers relatifs non nuls (par exemple, –7, 9 ou 4), mais leur somme peut être nulle (par exemple, et c = 6). C, c, L et l sont tous premiers avec N (par exemple, 3 est premier avec 11, mais pas avec 15). (C × l) – (c × L) est premier avec N.

De plus, le carré ainsi construit est diabolique si : (C + L) et (c + l) sont tous deux premiers avec N (les diagonales brisées allant de la gauche en haut à la droite en bas égalent la constante magique), et (C – L) et (c – l) sont tous deux premiers avec N (les diagonales brisées allant de la droite en haut à la gauche en bas égalent la constante magique).

Par exemple, la méthode de construction proposée par le Byzantin Manuel Moschopoulos, dite , se représente par le vecteur déplacement et le vecteur collision

Méthode du losange Les nombres impairs sont inscrits de manière à former un losange au « centre » du carré, d'où le nom de la méthode publiée par John Horton ConwayUne méthode alternative est proposée par ..

Méthode calculatoire On part de la matrice

et on note donc sa transposée, et U la matrice carrée composée uniquement de 1 de taille n. On pose les matrices et .

Alors le carré magique s'obtient avec

Soit pour chaque élément de la matrice :

Soient les indices et variant de 1 à n, ainsi

Méthode de spectacle Cette méthode, dite « de spectacle » est l'une des méthodes utilisées par les mentalistes et les magiciens dans leurs spectacles, où l'effet consiste à écrire en quelques secondes le carré magique du nombre donné par un spectateur. Cette méthode a deux contraintes : Elle est applicable uniquement à partir du nombre 25, mais il n'y a pas de maximum imposé. Elle ne fonctionne que pour un carré magique d'ordre 4.

Le tour est présenté par le magicien, qui demande un nombre n supérieur à 24 (ou bien il utilise des méthodes d'influence psychologiques), avec par exemple le nombre 49. Il faut alors soustraire 24 au nombre choisi n - 24 (49 - 24 = 25).

Juste après, le magicien prend (ou bien écrit sur le moment) un carré magique prérempli, qui utilise une certaine logique expliquée juste après : +Carré magique prérempli115__4__6798__1151332__