En mathématiques, une fonction caractéristique, ou fonction indicatrice, est une fonction définie sur un ensemble qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble de de tout élément de .

Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble d’un ensemble est la fonction :

D'autres notations souvent employées pour la fonction caractéristique de sont et , voire (i majuscule).

Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination évite la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité mais en induit une autre, avec la fonction indicatrice en analyse convexe.

(Attention : la fonction peut désigner aussi la fonction identité).

Propriétés

Le principal intérêt de ces fonctions est de transformer des relations entre ensembles en relations entre des fonctions.

Si et sont deux sous-ensembles de alors

et

L'application

est une bijection, de l'ensemble des parties de dans l'ensemble des applications de dans .

Sa bijection réciproque est l'application , où désigne l'image réciproque par du singleton , c'est-à-dire la partie de constituée des éléments tels que .

Continuité Si est une partie d'un espace topologique et si la paire est munie de la topologie discrète (qui est la topologie induite par la topologie usuelle de ℝ), l'ensemble des points de en lesquels la fonction est discontinue est la frontière de .

Exemple et ℚ est la fonction qui associe 1 à tout rationnel et 0 à tout irrationnel. La fonction de Dirichlet : ℝ → ℝ est définie de la même manière (autrement dit : sa corestriction à est ). Dans , la frontière de est (puisque ℚ et ℝ\ℚ sont denses dans ℝ) donc est discontinue partout. La fonction de Dirichlet est donc également discontinue partout.

Mesurabilité Si est un espace mesurable (c'est-à-dire si est une tribu sur ), une partie de est un ensemble mesurable (c'est-à-dire appartient à cette tribu) si et seulement si son indicatrice est une fonction mesurable. vignette|300x300px|Représentation de la fonction indicatrice du carré

Obtention pratique de la fonction indicatrice d'un intervalle ou d'un pavé La fonction indicatrice régularisée de l'intervalle dans peut être obtenue par la formule où est la fonction signe ; elle vaut 1/2 au lieu de 1 aux bornes de l'intervalle. Pour un pavé on utilise un produit cartésien de telles fonctions.

Notes et références

Voir aussi Articles connexes Fonction simple (combinaison linéaire de fonctions indicatrices) Fonction étagée (fonction simple mesurable) Fonction porte

Bibliographie

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, « L-fuzzy sets », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 18, 1967,

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