vignette|Le lemme d'Euclide est tiré des Éléments, ouvrage fondateur des mathématiques occidentales. En mathématiques, le lemme d'Euclide est un résultat d'arithmétique élémentaire sur la divisibilité qui correspond à la Proposition 30 du Livre VII des Éléments d'EuclideCette proposition, numérotée proposition 30 dans les éditions et traductions récentes, depuis l'édition de Johan Ludvig Heiberg de 1884, est numérotée 32 dans des éditions ou traductions plus anciennes comme .. Il s'énonce ainsi :
Une généralisation est :
Formellement : si a|bc et PGCD(a, b) = 1, alors a|c.
Dans le traité de Gauss, les Disquisitiones arithmeticae, l'énoncé du lemme d'Euclide constitue la proposition 14 (section 2), qu'il utilise pour prouver l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier (théorème 16), admettant l'existence comme . De cette existence et unicité, il déduit alors « son » lemme (article 19).
Le lemme, ou théorème, de Gauss apparaît déjà dans les Nouveaux élémens de mathématiques de Jean Prestet en 1689 , vol. 2, p. 338-339..
Le lemme de Gauss se généralise à tout anneau (commutatif, unitaire) intègre à PGCD, en particulier à tout anneau principal comme celui des polynômes sur un corps.
Démonstration directe du lemme d'Euclide Cette preuve est essentiellement celle de Gauss, qui raisonne par l'absurde, en supposant l'existence d'un nombre premier p et d'entiers naturels a et b non divisibles par p tels que p divise ab. Il choisit d'abord un tel triplet (p, a, b) tel que b soit le plus petit possible (pour p et a fixés). Alors, 1 < b < p (par réduction de b modulo p). Il note ensuite b le reste de la division euclidienne de p par b. Ainsi, p = mb + b, donc ab = ap – mab est multiple de p, car ab est multiple de p par hypothèse. Comme , ceci contredit la minimalité de b, concluant ainsi le raisonnement par l'absurde.
Démonstration directe du lemme de Gauss Soient a, b et c trois entiers, avec PGCD(a, b) = 1 et a|bc. Puisque a divise à la fois ac et bc, il divise leur PGCD, or PGCD(ac, bc) = PGCD(a, b)×c = 1×c = c.
La démonstration pour n'importe quel anneau intègre à PGCD est identique. La démonstration classique pour l'anneau des entiers utilise le théorème de Bézout Ou (dans un anneau d'entiers quadratiques) . et s'étend donc seulement aux anneaux de Bézout.
Conséquences du lemme de Gauss
Primalité avec un produit Si un anneau A (commutatif, unitaire et intègre) vérifie le lemme de Gauss, alorsCette implication, notée D ⇒ PP dans , lemme 2.13, est stricte : cf. leur exemple 3.12. :
L'anneau A vérifie la propriété ci-dessus (si et) seulement si il vérifie le lemme de Gauss pour les polynômes :
(Un polynôme est dit primitif si ses coefficients sont premiers entre eux, si leurs seuls diviseurs communs sont les inversibles de l'anneau.)
Le sens « si » est immédiat, en considérant deux polynômes primitifs de la forme a + bX et a + cX. Pour la réciproque, voir l'article Lemme de Gauss (polynômes).
Lemme d'Euclide Les nombres premiers et leurs opposés constituent les éléments irréductibles de l'anneau ℤ des entiers. L'énoncé du lemme d'Euclide dans un anneau quelconque est donc :
(c'est-à-dire divise l'un des deux facteurs dès qu'il divise un produit). Il est vérifié dès que la propriété ci-dessus l'estCette implication, notée PP ⇒ AP dans , est stricte : cf. leur exemple 3.13. et a fortiori dès que le lemme de Gauss l'est.
Lien entre PGCD et PPCM Dans tout anneau A vérifiant le lemme de Gauss, le plus petit commun multiple de deux éléments premiers entre eux est leur produit. Plus généralement :
Réciproquement, si A est intègre et vérifie cet énoncé alors il vérifie le lemme de Gauss :
Unicité de la forme irréductible d'une fraction Tout nombre rationnel peut s'écrire sous forme d'une fraction irréductible. Le lemme de Gauss permet de montrer qu'une telle écriture est unique :
Soient r un rationnel et p, p, q, q entiers, avec q, q > 0, tels que r = p/q = p/q et PGCD(p, q) = PGCD(p, q) = 1.
On a donc q | pq = pq. Or q est premier avec p. Le lemme de Gauss montre que q|q.
De même (en intervertissant les indices) q|q.
D'où q = q, car q et q sont positifs.
Puis p = rq = rq = p.
La forme irréductible d'un rationnel est donc unique.
De même, pour tout élément du corps des fractions d'un anneau intègre à PGCD, l'existence d'une forme irréductible est assurée et son unicité (à produit près par un inversible) se déduit du lemme de Gauss.
Fermeture intégrale
De la conséquence ci-dessus sur la primalité avec un produit (et de l'existence d'une forme irréductible pour un anneau à PGCD) on déduit :
Réciproque du lemme de Gauss Soient a non nul et b, deux éléments d'un anneau intègre. Si, pour tout élément c, a divise bc implique que a divise c, alors a et b sont premiers entre eux.
En effet, soit d un diviseur commun à a et b : on peut écrire a = cd et b = ed. Par hypothèse, comme a divise bc, on a que a divise c donc d est inversible.
Notes et références
Catégorie:Divisibilité et factorisation Euclide Catégorie:Euclide