vignette|Portrait de Gaston Darboux, mathématicien ayant démontré ce théorème. Le théorème de Darboux est un théorème central de la géométrie symplectique : les variétés symplectiques de dimension sont deux à deux localement symplectomorphes.
Énoncé et démonstration Plus explicitement :
Ce résultat implique l'inexistence d'invariant local en géométrie symplectique. Cette situation s'oppose à la géométrie riemannienne pour laquelle il existe un invariant local de classe , la courbure.
Aspect semi-local Ainsi, la géométrie symplectique est essentiellement globale. Cependant, le théorème de Darboux conduit à des questions semi-locales :
Il répond à une question existentielle : Existe-t-il une carte locale telle que… ? La preuve donne l'existence de la carte sur un domaine suffisamment petit. Renversons la question :
Cependant, quel sens donner au mot « taille » ? Soit ; l'existence d'un plongement symplectique d'une boule (fermée) dans un cylindre ×ℝ implique , .. La capacité symplectique d'une variété symplectique est donnée par :
Note et référence
Voir aussi Variété symplectique Géométrie symplectique Capacité symplectique Géométrie de contact
Catégorie:Géométrie symplectique Darboux