En mathématiques, et plus particulièrement en topologie et en topologie algébrique, un revêtement d'un espace topologique B par un espace topologique E est une application continue et surjective p : E → B telle que tout point de B appartienne à un ouvert U tel que l'image réciproque de U par p soit une union disjointe d'ouverts de E, chacun homéomorphe à U par p.
Il s'agit donc d'un fibré à fibres discrètes. Les revêtements jouent un rôle pour calculer le groupe fondamental et les groupes d'homotopie d'un espace. Un résultat de la théorie des revêtements est que si B est connexe par arcs et localement simplement connexe, il y a une correspondance bijective entre les revêtements connexes par arcs de B, à isomorphisme près, et les sous-groupes du groupe fondamental de B.
Définitions Homéomorphismes locaux Soient X et B deux espaces topologiques.
Un homéomorphisme local, . est une application : X → B, appelée projection, telle que pour tout point x de X, il existe un ouvert U de X contenant x et un ouvert V de B tels que la restriction de à U soit un homéomorphisme sur V.
Un espace X muni d'un homéomorphisme local : X → B est dit étalé au-dessus de B. L'espace d'arrivée B de la projection est appelé la base de l'homéomorphisme local.
Pour tout point b ∈ B, on appelle fibre de X au-dessus du point b et l'on note X(b) le sous espace (b) ⊂ X.
On appelle section (continue) de , ou de X, au-dessus de B, une application continue : B → X telle que = Id.
Revêtements Un revêtement d'un espace topologique B est. un espace X, muni d'un homéomorphisme local : X → B surjectif, dit explicitement qu'il n'impose pas cette restriction., tel que pour tout point b de B, il existe un ouvert V contenant b, un espace discret F et un homéomorphisme qui commute avec les projections sur l'espace B, c'est-à-dire que si alors .
Autrement dit : un revêtement est un fibré à fibres discrètes, avec la remarque que si la base B n'est pas connexe, la fibre F dépend du point base b et s'identifie à la fibre (b).
Plus simplement, 2010, .. : : X → B est un revêtement si tout point de B appartient à un ouvert V tel que (V) soit une réunion disjointe d'ouverts appliqués homéomorphiquement par sur V.
Théorème. : Soient n un entier naturel non nul, X un espace séparé et : X → B un homéomorphisme local dont toutes les fibres ont n éléments, alors est un revêtement.
Revêtements triviaux Si F est un espace discret, l'application définit un revêtement au-dessus de B. Plus généralement, un revêtement est dit trivial si l'on peut prendre V = B dans la définition, c'est-à-dire s'il existe un espace discret F et un homéomorphisme qui commute avec les projections sur l'espace B, c'est-à-dire que si , alors . Un homéomorphisme est un exemple de revêtement trivial.
Exemples Revêtement du cercle par une droite Soit S le cercle dans le plan ℝ = ℂ. La droite réelle ℝ est alors un revêtement de S défini par l'application :
Chaque fibre est ici infinie dénombrable : .
La construction se généralise au revêtement exponentiel du tore :
La fibre est dénombrable : .
Les fonctions puissances L'application du plan complexe privé de l'origine ℂ* définit un revêtement. Chaque fibre est ici finie et a éléments.
L'application exponentielle L'application du plan complexe ℂ définit un revêtement. Chaque fibre est ici infinie dénombrable : .
La bande de Möbius
Le cylindre (ou anneau) est un revêtement à deux feuillets de la bande de Möbius.
La bande de Möbius est une variété topologique non orientable alors que son revêtement est orientable. On montre plus généralement que toute variété connexe non orientable possède un revêtement connexe à deux feuillets orientable. C'est le cas notamment du plan projectif dont le revêtement est une sphère (voir ci-dessous), et de la bouteille de Klein dont le revêtement est le tore.
Revêtement de l'espace projectif Pour n > 1, l'application canonique est un revêtement de l'espace projectif (réel) ; la fibre a deux éléments.
Dans le cas du plan projectif dont une représentation dans ℝ est donnée par la surface de Boy, il est possible de transformer la sphère par immersion en un revêtement à deux feuillets de cette surface de Boy. Si on fait se traverser ces deux feuillets, on procède alors à un retournement de la sphère.
On procède de même pour le retournement du tore, après avoir fait coïncider celui-ci en un revêtement à deux feuillets de la bouteille de Klein.
Constructions de revêtements Produit fibré, somme directe, changement de base
Soit , et trois espaces topologiques et et deux morphismes (applications continues). On appelle produit fibré de et au-dessus de , un espace topologique, noté et un couple de morphismes, et , tels que pour tout espace topologique et tout couple de morphismes et vérifiant , il existe un morphisme tel que et .
Groupes discrets opérant proprement et librement Soit Γ un groupe discret opérant proprement et librement sur un espace localement compact E, la projection E → E/Γ définit un revêtement de fibre Γ.
En particulier si Γ est un sous-groupe discret d'un groupe topologique G, la projection G → G/Γ est un revêtement de fibre Γ.
Construction de revêtements par recollement
Théorie des revêtements Morphismes et transformations de revêtements Un morphisme de revêtements au-dessus de B est une application continue (où X et X' sont des revêtements) qui commute avec les projections et , c'est-à-dire telle que : . L'application identité Id est un morphisme de revêtements. La composée de deux morphismes de revêtements est un morphisme. Par conséquent, les revêtements de base B avec leurs morphismes forment une catégorie.
Revêtements sur un segment Théorème — Tout revêtement d'un intervalle compact de ℝ est trivial.
Plus généralement :
Théorème. — Tout revêtement d'un espace simplement connexe et localement connexe est trivial.
Théorème, Corollary 5.8. — Tout fibré sur un CW-complexe contractile est trivial.
Relèvement des chemins
Le chemin g est appelé un relèvement du chemin f. Un cas particulier fréquent est donné par le revêtement du cercle unité B du plan complexe par la droite réelle X. Le résultat précédent porte alors le nom de théorème de relèvement.
Monodromie des lacets et relèvement des applications
Le groupe fondamental de la base, , opère par une action de groupe à droite sur la fibre , de façon compatible avec l'action à gauche du groupe des automorphismes du revêtement.
Soient Z un espace connexe par arcs et localement connexe par arcs, f : (Z, z) → (B, b) une application continue et x ∈ X(b). Une condition nécessaire et suffisante pour que f possède un relèvement g : (Z, z) → (X, x) est que les morphismes induits, f : π (Z, z) → π(B, b) et π : π(X, x) → π(B, b), vérifient :
De plus, le relèvement g est alors unique.
Revêtements galoisiens et groupe de Galois d'un revêtement Un revêtement est dit galoisien (ou régulier ou normal) s'il est connexe par arcs et le groupe des automorphismes agit transitivement sur la fibre de chaque point. Il est dit abélien si de plus le groupe est abélien.
Revêtements universels Un revêtement universel d'un espace B est un revêtement galoisien E tel que, pour tout revêtement D de B, il existe un morphisme de E sur D. Deux revêtements universels sont isomorphes et tout revêtement d'un revêtement universel est trivial.
Théorème — Tout revêtement simplement connexe est un revêtement universel.
Théorème — Un espace (connexe par arcs) admet un revêtement simplement connexe si et seulement s'il est semi-localement simplement connexe.
En particulier tout graphe, toute variété topologique connexe admet un revêtement simplement connexe.
Le revêtement universel se construit simplement dans ce cas en prenant l'ensemble des arcs d'origine fixée (les applications continues telles que ) muni de la topologie de la convergence uniforme, que l'on quotiente par la relation d'équivalence homotopique (à extrémités fixées) ; les arcs d'extrémité se projettent en et la fibre s'identifie au groupe fondamental de la base, .
Exemples L'application donnée plus haut est le revêtement universel de l'espace projectif par la sphère de dimension n, dont la fibre est formée de deux points antipodaux. L'application du plan vers le tore définie par (où est la fonction partie fractionnaire) est le revêtement universel du tore.
Classification des revêtements et théorie de Galois Il y a une correspondance de Galois entre les revêtements associés à un revêtement connexe galoisien et les sous-groupes du groupe fondamental de l'espace de base, modulo un certain sous-groupe distingué. Plus précisément, soit un revêtement connexe galoisien sur un espace pointé connexe par arcs, localement connexe par arcs et semi-localement simplement connexe. Alors on a une corresondance entre les revêtements tels qu'il existe un morphisme de revêtements (un tel revêtement est dit associé à ) et les sous-groupes du groupe . Un tel revêtement est galoisien si et seulement si son sous-groupe associé est distinguéCharles Favre, Notes de cours : Surfaces de Riemann et théorie des revêtements, PDF.
Applications Calcul des groupes d'homotopie Si B est connexe par arc, alors on a un isomorphisme entre les groupes d'homotopie, conséquence de la suite exacte longue d'une fibration : .
Par exemple, la droite réelle ℝ est un revêtement de S donc .
Graphes et groupes libres Théorème de Nielsen-Schreier — Tout sous-groupe d'un groupe libre est un groupe libre.
Théorème de van Kampen
Revêtements ramifiés et surfaces de Riemann
Les revêtements ramifiés sont des revêtements ayant des points de dégénérescence. Soit un morphisme non constant entre deux surfaces de Riemann compactes. AlorsBenoît Stroh, Notes de cours: Surfaces de Riemann, PDF : est surjective ; pour tout , la fibre est discrète et non vide. Soit et la multiplicité de en , définie à l’aide de la forme normale de en ce point. On note l’ensemble des points de multiplicité . La restriction est alors un revêtement. Dans ces conditions, l’application est appelée un revêtement ramifié, de lieu de ramification . Un point est appelé point de ramification, et son image est appelée point de branchement. Pour un revêtement ramifié , la quantité ne dépend pas du point . Elle est appelée le degré de , noté .
La formule de Riemann-Hurwitz
La Formule de Riemann-Hurwitz permet de relier les caractéristiques d’Euler de surfaces de Riemann compactes dans le cas d’un revêtement ramifié. Plus précisément, si est un morphisme non-constant entre deux surfaces de Riemann compactes, alors : Où et sont les caractéristiques d’Euler obtenues par triangulation de et de .
Exemples L'application est un revêtement ramifié ayant un point de branchement en .
Revêtements des groupes topologiques
Notes et références
Bibliographie Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, tome 3 Pierre Dolbeault, Analyse complexe
Liens externes Analysis Situs, Groupe fondamental par les revêtements
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