En mathématiques, un faisceau injectif est un d'une catégorie abélienne de faisceaux.
Typiquement, dans la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique fixé, un faisceau est dit injectif lorsque, pour tout sous-faisceau d'un faisceau , tout morphisme injectif de dans se prolonge en un morphisme de dans . Autrement dit, le foncteur (contravariant) exact à gauche est exact.
Propriétés
On en déduit immédiatement :
Preuve du lemme Pour tout point de , il existe un plongement de la fibre dans un groupe abélien injectif . Considérons le préfaisceau (qui est un faisceau) appelé faisceau gratte-ciel et défini par : Alternativement, si est fermé dans alors avec (plus généralement, ). Pour tout faisceau de groupes abéliens, on a . Il s'ensuit que est un faisceau injectif. Le produit de faisceaux injectifs est un faisceau injectif. L'application naturelleest un monomorphisme de dans un faisceau injectif.
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