vignette|Une page du traité d'al-Khwarizmi, Kitab al jabr wa'l muqabala. Dans l'histoire des mathématiques, on désigne par mathématiques arabes les contributions apportées par les mathématiciens du monde musulman jusqu'au milieu du .
Les sciences arabes, et en premier plan, les mathématiques, se développent dans les califats établis au Moyen-Orient, en Asie centrale, en Afrique du Nord, en Espagne et, au , dans le Sud de la France. Les textes sont écrits en arabe, qui était une des langues des sciences et de la culture à cette époque, d'où l'emploi des termes de « sciences arabes » et de « mathématiques arabes », cela sans considération de la langue maternelle des savants et quelles que puissent être leurs origines ethniques ou leur religion.
Les mathématiques arabes se sont constituées par assimilation des mathématiques grecques ainsi que des mathématiques indiennes. Elles ont également été influencées par les mathématiques chinoises et babyloniennes avant de connaître un développement propre. C'est principalement par leurs traductions en arabe et leurs commentaires que l'Europe prit connaissance des ouvrages des mathématiciens grecs. De récentes recherches ont démontré que beaucoup d'idées, qu'on pensait nées dans l'Europe du , ou siècle, étaient déjà présentes dans les mathématiques grecques ou furent développées par des mathématiciens arabes, mais certaines n'eurent pas de suite.
Histoire
L'islam connaît dès sa naissance au une rapide progression. En un siècle, les territoires musulmans s'étendent d'Espagne jusqu'en Perse.. La conquête des territoires contre l'empire byzantin conduit à la prise de Damas, l'invasion de la vallée mésopotamienne et la prise d'Alexandrie en 641. Par ces conquêtes l'empire musulman prend connaissance du savoir grec et indien.
Puis durant un siècle, des luttes internes aboutissent à la création, vers la fin du huitième siècle après la chute des Omeyyades, de trois entités politiques différentes : Abbassides à l'est, Idrissides au Maroc et Omeyyades de Cordoue. Ce schisme explique en particulier l'existence de plusieurs graphies pour les chiffres dit arabes : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 : utilisés à Fès et à Cordoue et ٠,١,٢,٣,٤,٥,٦,٧,٨,٩ : utilisés à Bagdad.
Fès, la capitale culturelle et spirituelle du Maroc, abrite Quaraouiyine, l'établissement éducatif considéré de nos jours comme étant le plus ancien dans le monde encore en activitéThe Guinness Book Of Records, édition de 1998, , .. vignette|Érudits dans une bibliothèque abbasside (illustration de Yahya ibn Vaseti dans le Maqama of Hariri). Bagdad, ville créée par les califes abbassides pour servir de capitale de l'Empire, devient très vite un centre culturel avec notamment la création d'une Maison de la sagesse sous le règne du calife Al-Mamun (début du ). Un grand programme de traduction y est entrepris, d'abord de persan en arabe puis de sanskrit ou de grec en arabe.. Les Arabes établissent des contacts avec les Romains byzantins de Constantinople, et les califes arabes achètent les manuscrits grecs notamment les Éléments d'Euclide (qui seront traduits par Al-Hajjaj.) et la Grande composition mathématique de Ptolémée connue sous le nom Almageste qui donne lieu à plusieurs traductions dont celle d'Al-Hajjaj et celle de Thabit ibn Qurra.. Deviennent également accessibles et traduits en arabe des ouvrages tels que les Coniques d'Apollonius, De la sphère et du cylindre d'Archimède, l’Arithmetica de Diophante (traduit par Qusta ibn Luqa.), le Traité sur les miroirs de Dioclès, les Travaux sur la mécanique de Pappus d'Alexandrie ainsi que les traités de Héron d'Alexandrie. Les mathématiciens arabes traduisent aussi des textes sanskrits d'astronomie et de mathématiques indiennes comme le Surya Siddhanta et le Brahma Sphuta Siddhanta (traduits par Muhammad al-Fazari), le Khandakhayaka de Brahmagupta. et l'Aryabhatiya d'Aryabhata.
Parmi les membres de la Maison de la Sagesse, on compte le mathématicien persan Al-Khwarizmi. Deux de ses traités ont eu un impact considérable sur les mathématiques européennes au . Le premier, dont seule la traduction latine a été conservée, transmet la numération décimale. Le second traité, Kitab fi'l-jabr wa'l-muqabala (Livre sur la restauration et la confrontation) traite de manipulations sur les équations. L'algèbre, nouvelle discipline des mathématiques, continuera de s'épanouir avec la civilisation islamique. On peut également citer les frères Banu Musa et Thābit ibn Qurra (algèbre, traduction de Nicomaque et révision des Éléments d'Euclide, mise en place de méthodes infinitésimales pour le calcul d'aire, astronomie, trigonométrie, théorie des nombres)..
Les mathématiques arabes sont particulièrement florissantes durant les ., période durant laquelle de nombreux mathématiciens approfondissent les différentes branches des mathématiques : Abu l-Wafa (traducteur, algèbre, arithmétique, trigonométrie, géométrie), Abu Nasr Mansur (trigonométrie), Abu Kamil (algèbre), al-Battani (trigonométrie), al-Karaji (algèbre), Ibn al-Hayttam connu sous le nom d'Alhazen (algèbre, géométrie, optique), Omar Khayyam (algèbre, géométrie), Sharaf al-Dīn al-Tūsī (algèbre).
Le premier déclin des sciences arabes commence au à la suite de conflits divisant le monde musulman, mais il existe cependant encore des mathématiciens de renom au-delà de cette période parmi lesquels on peut citer Nasir al-Din al-Tusi au (géométrie), puis al-Kashi au (arithmétique, algèbre, analyse numérique). Après ce dernier mathématicien, le nombre de contributions aux mathématiques médiévales par des mathématiciens arabes devient négligeable.. L'influence d'Algazel sur ce déclin a été présentée comme déterminante par Neil deGrasse Tyson dans sa conférence sur l'âge d'or islamique Neil deGrasse Tyson : L'âge d'or islamique.
Nombre : écriture, calcul, nature Écriture Plusieurs systèmes de numération ont coexisté dans le monde arabe médiéval.
On trouve en effet un système de numération décimal multiplico-additif où les 9 unités, les 9 dizaines, les 9 centaines et le millier sont identifiés par 28 lettres de l'alphabet arabe pris dans un certain ordre, le jummal. Un nombre comme 3854 s'écrit alors, à l'aide de cinq lettres, comme 3 fois 1000 plus 800 plus 50 plus 4. Ce système de numération semble avoir des sources syriaques, il permet en théorie d'écrire tous les nombres mais semble n'avoir pas été utilisé pour des grands nombres pour lesquels on préfère l'écriture sexagésimale. Ce système de numération est associé à un système de calcul mental appelé calcul digital. Dans ce système de numération il n'existe que 8 types de fractions : 1/2, 1/3, ..., 1/9, les autres s'exprimant par produit ou somme de fractions de ce type. Les fractions dont le dénominateur comporte un facteur premier différent de 2, 3, 5, 7 sont appelés des fractions sourdes c'est-à-dire inexprimables dont on cherche à fournir une valeur approchée..
On trouve également, principalement dans les écrits astronomiques, le système de numération sexagésimal des Babyloniens qui semble atteindre le monde arabe par la voie syriaque ou persane.. vignette|Généalogie de la numération indienne. Un dernier système va remplacer peu à peu les deux précédents. C'est le système décimal positionnel d'origine indienne constitué de neuf chiffres et du zéro. Un des premiers écrits arabes le décrivant est le livre sur le Calcul indien d'al-Khwarizmi dont il ne reste qu'une version latine incomplète.. Cet ouvrage présente le système de notation, celui des fractions (fractions indiennes a, décimales et sexagésimales) ainsi que les techniques opératoires (addition, soustraction, duplication, division par deux, multiplication, division, racine carrée). Un ouvrage postérieur d'al-Uqlidisi décrit également cette arithmétique et fait une étude comparée des trois arithmétiques (indienne, sexagésimale, digitale). C'est également lui qui perfectionne l'usage de la fraction décimale, utilisant un séparateur pour distinguer la partie entière de la partie décimale.. Le calcul indien se répand ensuite dans tout le monde arabe avec des graphies différentes en Occident et en Orient.
Calculs Le calcul digital est un système de calcul mental que l'on trouve dans l'empire byzantin et dans l'empire arabe, probablement issu du monde commercial. Il utilise les articulations des doigts pour stocker des valeurs intermédiaires et porte également le nom d'arithmétique des nœuds (ou hisāb al-'uqūd). Les méthodes sont simples concernant les additions et les soustractions mais elles se compliquent pour les autres opérations. Il a fait l'objet d'écrits dont le plus ancien en langue arabe est celui d'Abu al Wafa al-Buzjani. mais disparaît peu à peu avec le développement du calcul indien. vignette|gauche|Multiplication arabe sur tablette de sable. La multiplication s'effectue par les poids forts et les résultats intermédiaires sont effacés. vignette|gauche|Multiplication par jalousies. Le calcul indien apporte une amélioration significative en particulier concernant la multiplication, l'addition, et l'extraction de racine carrée. Selon la tradition indienne, les calculs s'effectuaient sur une tablette de sable où les calculs intermédiaires étaient effacés au fur et à mesure. Sous l'impulsion de mathématiciens arabes, ce système est progressivement mais lentement remplacé par des calculs avec encre et papier permettant de conserver et contrôler les résultats intermédiaires.. Ainsi la méthode des maisons (ou multiplication par jalousies) est déjà présente dans l'ouvrage d'al-Uqlidisi.. Les méthodes d'analyse numérique développées à partir du . permettent également de trouver des valeurs approchées de plus en plus précises pour les calculs de racines (carrées, cubiques, etc.). L'astronome et mathématicien perse Al-Kashi a marqué, en calculant 16 décimales de , une étape dans la succession des records, depuis les 3 décimales calculées par Archimède.
Les livres d'arithmétique présentent également des techniques de calculs des nombres figurés ( nombre polygonaux, nombres pyramidaux), des séries arithmétiques et géométriques, des sommes des carrés, des cubes ou des puissances quatre des premiers entiers. On trouve une partie de ces travaux dans des sources indiennes ou grecques, mais le traitement de ces calculs par Ibn Tahir, l'andalous () et al-Kashi semble être original et leurs travaux permettent d'en faire un tout cohérent et exploitable..
Nature Si l'on appelle nombre l'objet sur lequel se porte le calcul, on peut noter durant ces siècles, une évolution concernant le statut du nombre.
On trouve chez al-Khwarizmi comme chez les auteurs indiens des règles opératoires concernant le zéro mais uniquement en tant que symbole dans la numération décimale..
Le nombre négatif est également présent dans les coefficients de polynômes. Cela conduit al-Samaw'al à exposer des règles de signes identiques à celles existant dans les mathématiques indiennes. mais le résultat du calcul, ou la solution de l'équation reste dans le domaine des nombres positifs, ..
L'évolution la plus importante se trouve dans le traitement des quantités irrationnelles qui dès le se voient qualifiées de nombre (« adad »), le nombre rationnel étant « al-adad al-muntica » et l'irrationnel «al-adad al-summa ».. On assiste à une arithmétisation des grandeurs géométriques. Des règles opératoires sont données concernant les irrationnels quadratiques ( ± où a et b sont des rationnels et où b n'est pas le carré d'un rationnel) et biquadratique (racine carrée d'irrationnels quadratiques). Ainsi Abu Kamil donne-t-il la règle opératoire suivante sur la somme de deux irrationnels quadratiques. :