L'inégalité de Ptolémée est une inégalité portant sur les distances entre quatre points d'un espace affine euclidien.
Énoncé
Le cas d'égalité est connu comme le théorème de Ptolémée. On en déduit que pour un tétraèdre non aplati, l'inégalité stricte est vérifiée.
L'inégalité de Ptolémée est la manifestation de l'inégalité triangulaire après l'application d'une inversion de centre l'un des points, ou, dans le cas plan, peut s'obtenir directement en utilisant les nombres complexes .
Démonstrations En utilisant les nombres complexes (cas plan) Soient les affixes respectives de . En développant et refactorisant , on obtient , donc d'après l'inégalité triangulaire, on a :
, d'où l'inégalité voulue.
Si deux points sont confondus, les quatre points sont cocycliques ou alignés, sinon le cas d'égalité s'écrit :
avec , ce qui s'écrit aussi , ou encore , d'où le résultat.
En utilisant une inversion (cas général) Soit , et les images respectives de , et par l'inversion de centre et de rapport 1..
On a les relations entre longueurs :
Ainsi l'inégalité triangulaire donne
qui après multiplication par devient
Il y a égalité si et seulement si , et sont alignés dans cet ordre, ce qui est équivalent à : , , et sont cocycliques ou alignés, avec séparant .
Références
Ptolemee Ptolemee