vignette|Figure représentant la partie réelle de la série d'Eisenstein de poids normalisée , comme fonction de la variable du disque unité complexe. Les valeurs négatives sont en noir. En mathématiques, les séries d'Eisenstein désignent certaines formes modulaires dont le développement en série de Fourier peut s'écrire explicitement. Toute forme modulaire classique associée au groupe modulaire est un polynôme en les séries d'Eisenstein de poids et .
Séries d'Eisenstein du groupe modulaire
Définition Pour tout entier , la série d'Eisenstein est la fonction holomorphe sur le demi-plan des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive définie par
C'est une forme modulaire de poids 2k. En particulier, pour tous entiers relatifs vérifiant ,
Représentation graphique Les fonctions du plan complexe peuvent être représentées par coloration de régions. Dans les figuressuivantes, la couleur d'un point du demi-plan de Poincaré représente la valeur de la série d'Eisenstein . L'intensité lumineuse représente le module et la couleur représente l'argument. En particulier, les points noirs correspondent aux zéros.
Propriétés
Relations de récurrence Toute forme modulaire holomorphe pour le groupe modulaire peut être écrite comme polynôme en et grâce à la relation de récurrence suivante, qui fait intervenir des coefficients binomiaux,
Les coefficients apparaissent dans le développement en série entière de la fonction de Weierstrass :
Séries de Fourier Posons . Alors les séries de Fourier des séries d'Eisenstein sont :où les coefficients de Fourier sont donnés par :les désignant les nombres de Bernoulli, la fonction zêta de Riemann et la fonction diviseur de degré associée à . En particulier,
Pour tout nombre complexe de module strictement inférieur à , la somme sur q se s'exprime comme une série de Lambert
Identités de Ramanujan Srinivasa Ramanujan a donné de nombreuses identités reliant les tout premiers termes. Ainsi, pouron a
Notes
Eisenstein Catégorie:Théorie analytique des nombres Catégorie:Fractale