En algèbre commutative, le radical. (aussi appelé la racine.) d'un idéal I dans un anneau commutatif A est l'ensemble des éléments de A dont une puissance appartient à I.
Définition .
Exemple Si A est un anneau principal, I est de la forme aA et son radical est l'idéal engendré par le produit des diviseurs irréductibles de a (chaque irréductible — à produit près par un inversible — n'apparaissant qu'une fois dans ce produit). En particulier dans ℤ, le radical d'un idéal nℤ est l'idéal engendré par le radical de l'entier n.
Propriétés Le radical de I est un idéal de A contenant I. Le radical du radical de I est le radical de I. Si I est un idéal primaire alors est un idéal premier. La réciproque est faussePar exemple, si , et , alors et est premier, mais , et donc n'est pas primaire.. Cependant, si est maximal alors I est primaire, Proposition 4.2.. Si I est propre alors son radical est l'intersection des idéaux premiers de A qui contiennent I. (En effet., si A/I est non nul, son nilradical est l'intersection de ses idéaux premiers.) Le nilradical de l'anneau A est par définition le radical de l'idéal nul. Si I et J sont deux idéaux de A alors : le radical de I∩J est égal à l'intersection des radicaux de I et J et est aussi égal au radical de l'idéal produit IJ ; le radical de l'idéal I + J contient la somme des radicaux de I et J. L'égalité n'est pas toujours vraie comme le montre l'exemple I = XA et J = (X + Y)A. Si le radical de I est un idéal de type fini (c'est-à-dire de type fini comme sous-A-module de A), par exemple si A est noethérien, alors il existe un entier naturel n tel que xn appartienne à I pour tout x appartenant au radical de I.
Idéal radiciel Un idéal I d'un anneau commutatif A est dit radiciel lorsqu'il est égal à son radical. En d'autres termes, I est radiciel si et seulement si l'anneau quotient A/I est réduit. Tout idéal premier est donc radiciel.
Notes et références
Catégorie:Idéal