La mesure de la méridienne de France par Delambre et Méchain, ou plus précisément de l'« arc de méridien situé entre Dunkerque et Barcelone », est un levé géodésique réalisé par les scientifiques français Jean-Baptiste Joseph Delambre et Pierre-François Méchain entre 1792 et 1798. Cette mesure fait suite à la décision de l'Assemblée nationale française en 1791 d'établir un système de mesure unique s'appuyant sur une unité de longueur universelle prise dans la nature : la dix millionième partie du quart du méridien terrestre, qui sera ultérieurement nommée le mètre.

Cette mission est précédée par l'établissement aux des premières mesures de méridienne qui vont fonder la cartographie et la géodésie modernes. L'Académie des sciences reçoit en effet en 1668 de Colbert la commande de cartographier la France et de mettre au point des méthodes cartographiques nouvelles. L'abbé Picard mesure ainsi en 1669 un degré de méridien, dans la région parisienne, entre Malvoisine et Sourdon-Amiens. Ces travaux sont poursuivis par la mesure entre 1683 et 1718 de la méridienne complète entre Dunkerque et Perpignan par les Cassini père et fils. Pour résoudre une controverse entre Isaac Newton et Jacques Cassini, sur le sens d’aplatissement de la terre, deux expéditions sont envoyées en Laponie et en Équateur, à la suite desquelles la position de Newton est confirmée.

Avec des instruments plus perfectionnés et des connaissances scientifiques issues du siècle des Lumières, la mesure doit être bien plus précise que celle des Cassini. La mission s'avère être une vraie épopée qui dure six années, émaillées de dangers, d'arrestations, de révocations temporaires, de destructions de matériel, d’épisodes tragi-comiques, de calculs, en pleine période révolutionnaire de la Terreur. En outre une partie de ces mesures doit être réalisée sur le territoire espagnol tandis que la guerre entre la France et l’Espagne débute le . Méchain y laisse sa raison, rongé par la honte d’une erreur de trois secondes. Delambre y gagne le poste de secrétaire perpétuel de l'Académie des sciences en 1803. Le produit de leurs travaux est ensuite matérialisé sous la forme d’une règle en platine pur. Les travaux sont acclamés, la preuve qu’au milieu de bouleversements sociaux et politiques la science pouvait produire quelque chose de permanent. Devant le fruit de leur labeur, Napoléon Bonaparte, fait une déclaration prophétique : « Les conquêtes passent et ces opérations restent. »

La valeur du quart du méridien retenue dans la décision finale du est de 5 130 740 toises, soit pour le mètre une longueur de de la toise du Pérou. La valeur utilisée pour la détermination du mètre provisoire basée sur les mesures de Cassini de 1718 avait été , soit une différence de 0,03 %.

Au , dans la continuité des travaux de Delambre et Méchain, de nouvelles mesures d'arcs de méridiens vont être entreprises : d'abord la prolongation de la méridienne de France vers les Baléares (1803), puis la jonction géodésique de la France avec l'Angleterre (1862), celle de l'Algérie avec l'Espagne (1879), l'arc géodésique de Struve (1816-1855). Finalement une grande partie du monde est triangulée à la fin du .

Travaux précurseurs et état de l'art à la fin du Arcs géodésiques Arc de Picard (1669)

vignette|redresse=0.7|Quart de cercle de Picard. En 1666, Colbert crée l'Académie des sciences qui se consacre au développement des sciences et conseille les autorités politiques en ce domaine. Il choisit des savants, mathématiciens (astronomes, mathématiciens et physiciens) et des physiciens (anatomistes, botanistes, zoologistes et chimistes) qui tiennent leur première séance le Dans son Histoire de l'Académie, Fontenelle rapporte que la première réunion des membres nommés a lieu le 16 juin 1666. Cependant, la mise sur pied définitive de l'Académie ayant été très difficile, ce n'est que le 22 décembre de la même année que peut se tenir la première réunion plénière. Voir . dans la bibliothèque du Roi à Paris. En 1668, elle reçoit pour mission de travailler à l’amélioration de la cartographie de la France et à la mise au point de méthodes cartographiques nouvelles. Un rapport présenté en 1669 propose d’établir une première grande triangulation qui servira d’appui aux travaux topographiques ultérieurs, fixant ainsi la méthode topographique moderne qui dissocie la construction de la triangulation géodésique des travaux topographiques de terrain. L'abbé Picard est ainsi amené à mesurer en 1669 un degré de méridien, dans le but défini par Colbert de cartographier la France de façon géométrique ; la région « prototype » est la région parisienne, l'emplacement de la méridienne se trouve à l'est de Paris, entre Malvoisine (Essonne) et Sourdon-Amiens (Somme). La méridienne de 1671, non achevée, peut servir comme point de départ de cette triangulation. Dans un premier temps, les observations permettent de rectifier le tracé des côtes atlantiques. Mais Picard meurt en 1682.

Picard est le premier à adapter des « lunettes d'approche, au lieu des pinnulesUne pinnule est une petite plaque de métal percée et disposée à chaque extrémité d’une alidade pour permettre la visée., sur ses instruments : quart de cercle et secteur, avec une bien plus grande justesse que celle que l'on avait jusqu'alors.». Pour ses travaux, il dispose d'un quart de cercle de (1,04 m) et d'un secteur de de rayon (3,25 m).

Méridienne des Cassini (1683-1718)

vignette|La méridienne de Paris et la carte de France, 1718.

En 1683, J.-D. Cassini, chargé des opérations, engage les travaux la même année. Il se dirige vers le sud et de La Hire part vers le nord. Après la mort de Colbert (), les travaux s'arrêtent, reprennent en 1700-1701, avec la participation de Jacques Cassini qui assiste son père. Ils s'arrêtent de nouveau pour n'être repris et terminés qu'en 1718 par Jacques Cassini, Maraldi et le fils de La Hire.

La méridienne de Paris, dite aussi méridienne des Cassini, s'appuie sur trois stations astronomiques principales : Dunkerque au nord, Canigou, près de Perpignan, et Collioure, au sud, en passant par le centre de l'Observatoire de Paris. La partie sud, de l'Observatoire au Roussillon, comporte vingt-quatre triangles principaux. La partie nord, de l'Observatoire à Dunkerque en comporte trente, soit au total cinquante-quatre triangles qui décrivent un arc de 8,5° de latitude, soit plus de huit fois la grandeur de l'arc de Picard. La triangulation s'appuie sur trois bases : Dunkerque ( toises), Villejuif (celle de Picard) ( toises) et Leucate ( toises).

Les triangles sont mesurés au quart de cercle. Les bases le sont probablement par des règles constituées de quatre bois de piques de deux toises chacun, règles étalonnés avec une règle de fer de quatre pieds portée exprès de Paris. La description n'est détaillée que pour la base de Leucate. La toise Cassini est probablement la même que la toise PicardLes informations sur la méridienne de Paris proviennent des sources suivantes : ; ..

Expéditions en Laponie, en Équateur et au Cap

thumb|Itinéraire de l'une des expéditions françaises des années 1730-1740 pour déterminer la forme exacte de la Terre. Carte de 1749. Dans ses Principia publiés en 1687, Newton, s'appuyant sur sa théorie de la gravitation universelle, prévoit un aplatissement du globe terrestre aux pôles de l'ordre de 1/230. Cependant, ces données sont contestées par Jacques Cassini, second directeur de l'Observatoire. Au vu des mesures de la méridienne Collioure-Paris-Dunkerque qu'il a effectuées, celui-ci estime que la Terre est allongée selon l'axe polaire, théorie qu'il expose en 1718 dans son ouvrage Traité de la grandeur et de la figure de la Terre. Cette contestation s'inscrit dans une polémique plus vaste portant sur les principes cosmologiques et opposant les partisans de Newton et de la théorie de la gravitation universelle, à ceux de Descartes et de la théorie des tourbillons. Dans ce cadre deux expéditions sont organisées, l'une en Laponie (1736-1737), comprenant quatre membres effectifs de l'Académie royale des sciences de Paris, à savoir Maupertuis, Clairaut, Camus et Le Monnier, ainsi qu'un membre correspondant, l'abbé Outhier et Celsius, et l'autre dans l'actuel Équateur (1736), alors Pérou, domaine de la couronne d'Espagne, dirigée par Louis Godin, astronome, et à laquelle participent Charles de la Condamine, chimiste et géographe, Joseph de Jussieu, botaniste, et des spécialistes ingénieurs (Verguin, Hugot, Séniergues, Morainville, etc).

Pour s'assurer que dans l'hémisphère sud, il y avait symétrie, l'abbé La Caille, qui était en 1752 en mission pour les observations stellaires et de parallaxe de la Lune au cap de Bonne-Espérance, fait une triangulation et mesure la longueur du pendule à l'Observatoire du Cap. Malheureusement son observation d'arc, bien que très précise, est inutilisable pour la détermination d'un ellipsoïde terrestre car il y a un massif montagneaux qui crée une attraction parasite et fausse les résultats.

Finalement, il apparaît que la terre est bien un sphéroïde aplati, conformément aux idées d'Huygens et de Newton, c'est le résultat scientifique fondamental, qui a un profond retentissement. On s'apercevra par la suite, que malgré la minutie des mesures, l'amplitude astronomique était probablement trop faible de l'ordre d'une dizaine de secondes (Svanberg, 1802) ce qui avait pour effet d'augmenter très exagérément la valeur de l'aplatissement — Maupertuis l'évaluera à 1/178 — mais la controverse était résolue.

État de la triangulation de la France à la fin du Aux environs de 1770 les travaux de triangulation nécessités par la méridienne de France étaient terminés, si l'on excepte certains opérateurs de Cassini qui poursuivaient le canevas géodésique de la carte de France, dont le premier ordre fut publié dans son ensemble en 1783.

Sur une proposition antérieure de Cassini de Thury, des opérations de liaison entre l'Observatoire de Paris et l'Observatoire royal de Greenwich dans la banlieue de Londres furent entreprises. Cette jonction fut menée de concert par le général britannique William Roy (1726–1790) pour l'Angleterre, par Cassini IV, Méchain et Legendre pour la France. La méridienne de La Caille, prolongée jusqu'à Calais, le cap Blanc-Nez et Mont Lambert près de Boulogne-sur-Mer permit la liaison avec la côte anglaise sur Douvres et Fairlight Down. Une chaîne de triangulation d'une vingtaine de triangles reliait du côté anglais ces sommets à Greenwich.

État de l'art à la fin du Triangulation et trigonométrie sphérique Géométrie des surfaces et trigonométrie sphéroïdique Les solutions apportées à divers problèmes théoriques comme l'attraction des ellipsoïdes, la théorie de l'équilibre des corps en rotation, la théorie générale des surfaces vont se révéler d'un grand intérêt pour traiter des applications géodésiques plus pratiques. Ainsi, Euler en 1760 puis Monge en 1771 définissaient les éléments fondamentaux de la géométrie des surfaces, branche qui allait devenir la géométrie différentielle : courbure, lignes tracées sur les surfaces, géodésiques, lignes de courbure. J. MeusnierJean Baptiste Marie Charles Meusnier (1754–1793) donne en 1776 sa formule pour la courbure de la section plane d'une surface. Le théorème de Meusnier montre que les cercles de courbure de toutes les courbes inscrites sur une surface en un point d'un espace euclidien réel à trois dimensions, et qui y possèdent la même tangente, se trouvent sur une sphère. énonce en 1776 un théorème qui jouera un rôle important en géométrie différentielle. En 1773, Pierre-Simon de Laplace, alors âgé de 24 ans, élève et protégé de D'Alembert, publia son premier mémoire de mécanique céleste. Celui-ci traite de la stabilité des grands axes des orbites planétaires.