En algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, le rayon spectral d'un endomorphisme est le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de . Il est généralement noté .
Définition
Soit , en notant l'ensemble des valeurs propres de , le rayon spectral de est défini par :
Dans un cadre plus général, si est un opérateur borné sur un espace de Banach est :
Propriétés
Liens avec les normes matricielles Pour toute norme matricielle on a .
De plus, on montre que , la borne inférieure étant prise sur l'ensemble des normes subordonnées donc a fortiori sur l'ensemble des normes matricielles.
Le rayon spectral peut être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice a un rayon spectral 0, mais donc (plus précisément, car nous avons ).
Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral d'un endomorphisme est donné par la formule .
Opérateurs normaux Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H, .
Applications En analyse numérique, le rayon spectral est utilisé dans l’étude de la convergence d’algorithmes itératifs (Méthode de Jacobi, etc.)
Voir aussi Bibliographie
Articles connexes Norme d'opérateur Spectre d'un opérateur linéaire
Liens externes
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Catégorie:Théorie spectrale