En mathématiques, la fonction exponentielle intégrale, habituellement notée , est définie par :
Comme l'intégrale de la fonction inverse () diverge en 0, cette définition doit être comprise, si , comme une valeur principale de Cauchy.
vignette|Représentation graphique de la fonction exponentielle intégrale.
Propriétés La fonction n'admet qu'un seul zéro, pour .
Elle admet un point d'inflexion en .
Lien avec le logarithme intégral La fonction est liée à la fonction (logarithme intégral) par :
Développement en série de vignette|upright=1.5|Représentation graphique des fonctions (en haut) et (en bas), pour x > 0.
L'exponentielle intégrale a pour développement en série :
où est la constante d'Euler-Mascheroni.
Les fonctions L'exponentielle intégrale est reliée à une autre fonction, notée définie, pour x > 0, par :
On dispose alors de la relation, pour :
Les deux fonctions s'expriment en fonction de la fonction entière définie par :
En effet, on peut montrer que, pour x > 0 :
et
La relation donnée pour permet d'étendre cette fonction sur tout ouvert simplement connexe du plan complexe ne contenant pas 0, en prenant une détermination du logarithme sur ce plan. On prend généralement comme ouvert le plan complexe privé des réels strictement négatifs.
Plus généralement, on définit, pour tout entier n strictement positif, la fonction par :
Ces fonctions sont reliées par la relation :
Calcul de
La fonction ne possède pas d’expression à l’aide des fonctions élémentaires usuelles, d’après un théorème dû à Liouville. Différentes méthodes peuvent être utilisées afin de calculer en double précision.
Pour x compris entre 0 et 2,5
On a le développement en série suivant :
Cette série convergente peut théoriquement être utilisée pour calculer pour tout réel mais avec les opérations à virgule flottante, le résultat est inexact pour à cause de la perte de précision relative quand on soustrait des nombres d'ordres de grandeur différents.
Pour x > 40 vignette|Erreur relative de l'approximation asymtotique pour diverses valeurs du nombre N de termes de la somme partielle : N = 1 (rouge), 2 (vert), 3 (jaune), 4 (bleu) et 5 (rose) Il existe une série divergente permettant d'approcher pour les grandes valeurs de , obtenue par intégration par parties., qui donne le développement asymptotique suivant :
avec quand z tend vers .
Afin d'avoir une précision de 64 bit (double précision), il faut utiliser la valeur .
Exponentielle intégrale réciproque
On peut exprimer la réciproque de l'exponentielle intégrale par le développement en série entière suivant:
où est la constante de Ramanujan-Soldner et est la suite de polynômes définie par la relation de récurrence :
Pour , et on a la formule :
Applications Les fonctions exponentielles intégrales apparaissent dans les solutions des équations de transport et de diffusion, de problèmes de radiation.
Références
, p. 228-230
Voir aussi Cosinus intégral Sinus intégral Fonction gamma incomplète Fonction de Bickley-Naylor
Catégorie:Exponentielle Catégorie:Fonction hypergéométrique Catégorie:Analyse réelle