En mathématiques, la fonction de von Mangoldt est une fonction arithmétique nommée en l'honneur du mathématicien allemand Hans von Mangoldt.
Définition La fonction de von Mangoldt, traditionnellement notée , est définie sur par
Cette importante fonction arithmétique n'est ni multiplicative, ni additive.
Elle satisfait l'identitéVoir , th. 2.10 et 2.11, ou ou, ce qui est équivalent, , où les sommes sont prises sur tous les entiers naturels d qui divisent n et où désigne la fonction de Möbius.
Fonction de Tchebychev La « fonction sommatoire de von Mangoldt » , aussi connue comme la deuxième fonction de Tchebychev, est définie par
.
Von Mangoldt a fourni une preuve rigoureuse d'une pour , impliquant une somme sur les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann.. Ce fut une partie importante de la première démonstration du théorème des nombres premiers, qui équivaut à .
Séries de Dirichlet La fonction de von Mangoldt joue un rôle important dans la théorie des séries de Dirichlet, en particulier la fonction zêta de Riemann. Son logarithme est
pour . Sa dérivée logarithmique est donc :
.
Plus généralementC'est plutôt par cette méthode qu', calcule , après s'être assuré () que sur son demi-plan de convergence, ne s'annule pas., sur le demi-plan de convergence d'une série de Dirichlet , on a et si est complètement multiplicative, on en déduit .
Transformation de Mellin de la fonction de Tchebychev La transformation de Mellin de la fonction de Tchebychev peut être trouvée en appliquant la formule sommatoire d'Abel :
qui reste vraie pour .
Série exponentielle vignette|droite|Une série exponentielle impliquant la fonction de von Mangoldt, sommée jusqu'aux premiers termes
L'équivalent se réécrit :
.
Hardy et Littlewood ont examiné la série G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes », Acta Mathematica, vol. 41, 1916, p. 119-196.
.
Ils ont démontré sous l'hypothèse de Riemann que
et que
.
Ainsi (si l'hypothèse de Riemann est vraie) cette fonction est oscillatoire, avec des oscillations divergentes: il existe une valeur telle que chacune des inégalités
et
est vraie infiniment souvent dans chaque voisinage de 0. Le graphe sur la droite montre que ce comportement n'est pas facile à illustrer : les oscillations ne sont clairement visibles que lorsque les 100 premiers millions de termes de la série ont été sommés, et pour .
La moyenne de Riesz
La moyenne de Riesz de la fonction de von Mangoldt est donnée par
.
Ici, et sont des nombres caractérisant la moyenne de Riesz. On doit prendre . La somme sur est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et on peut montrer que la série converge pour .
Voir aussi Fonction de compte des nombres premiers Théorème de Vinogradov Théorème de Bombieri-Vinogradov Lien avec la constante d'Euler-Mascheroni
Références
Catégorie:Théorie analytique des nombres Catégorie:Fonction arithmétique Von Mangoldt