En mathématiques, et plus particulièrement en théorie analytique des nombres, la formule de Perron est une formule d'Oskar Perron pour calculer la fonction sommatoire () d'une fonction arithmétique, au moyen d'une transformation de Mellin inverse de la série de Dirichlet associée.
La formule de Perron Soient une fonction arithmétique et
où l'étoile sur le symbole de sommation indique que le dernier terme doit être multiplié par 1/2 quand est entier.
On suppose que la série de Dirichlet classique
admet une abscisse de convergence simple finie σ.
Alors, la formule de Perron est : pour tous réels c > max(0, σ) et > 0,
où l'intégrale est semi-convergente pour non entier et converge en valeur principale pour entier.
Formule de Perron pour une série de Dirichlet générale Pour une série de Dirichlet générale, de la formeon a de même, p. 9, pour tous nombres réels c > max(0, σ) et ,
Formules effectives
Première formule de Perron effective
Soit pour , d'abscisse de convergence absolue finie .
Alors on a, si
Seconde formule de Perron effective
Soit pour , d'abscisse de convergence absolue finie , et où pour une fonction croissante (au sens large).
On suppose de plus que, pour un nombre réel , quand
Alors on a, si
Preuves Pour les trois formules concernant les séries de Dirichlet classiques, on part du lemme suivant établi par le calcul des résidus.
Il reste ensuite à multiplier par et sommer sur .
Une preuve de la formule de Perron pour une série de Dirichlet classique consiste à appliquer d'abord ce lemme lorsque est strictement supérieur à l'abscisse de convergence absolue de la série. Si on a seulement , alors et le théorème intégral de Cauchy permet de se ramener au cas précédent.
Notes et références
Catégorie:Théorie analytique des nombres Catégorie:Méthode de sommation