En mathématiques, une constellation de nombres premiers est un n-uplet de nombres premiers consécutifs, remplissant de plus une condition d’admissibilité l'autorisant à former une famille infinie ; cette notion généralise celle de nombres premiers jumeaux, ou cousins, ou encore triplés.
Une constellation est appelée un n-uplet-premier ("prime n-tuplet" en anglais) si la différence entre le premier et le dernier terme de ses éléments est la plus petite possible pour une forme admissible donnée.
La conjecture des constellations affirme que pour toute forme admissible donnée, il existe une infinité de constellations associées.
Définitions Une constellation de nombres premiers est un n-uplet de nombres premiers consécutifs de la forme , vérifiant de plus la condition d'admissibilité suivante : pour tout nombre premier , les résidus modulo de ne recouvrent pas les résidus possibles ; si cette condition n'est pas vérifiée, il existe pour tout un nombre premier dont l'un des termes de est multiple, et la famille correspondante est forcément finie. Par exemple, n'est pas une forme admissible de constellation car l'un des termes est forcément divisible par 3 ; par contre, en est une, car le seul résidu modulo 2 représenté dans est 0 et les deux seuls résidus modulo 3 représentés sont 0 et 2.
On définit comme le plus petit nombre pour lequel il existe entiers > 0 : , , ne donnant pas tous les résidus possibles modulo un nombre premier. Une constellation de la forme est dite minimale si son "diamètre" est égal à , et appelée un n-uplet-premier ("prime n-tuplet" en anglais).
Exemples
Couples
Les constellations sont de la forme et on a . +formenompremier coupleOEISnombres premiers jumeauxnombres premiers cousins (excepté (3, 7))nombres premiers sexys dont les intermédiaires sont tous composés (pour )
(pour ) Triplets On a . +formenompremier tripletOEIStriplet-premier du premier typetriplet-premier du second typeprogression arithmétique de raison 6
Quadruplets On a . +formenompremier quadrupletOEISquadruplet-premierprogression arithmétique de raison 6
Quintuplets On a . +formenompremier quintupletOEISquintuplet-premier du premier type quintuplet-premier du second type
Sextuplets On a . +formenompremier quintupletOEISsextuplet-premier La suite continue ainsi : ().
Un exemple de constellation minimale avec est avec comme premier terme : .
Constellations en progression arithmétique Une constellation de nombres premiers consécutifs de la forme est appelée une progression arithmétique forte de nombres premiers. Pour qu'un tel -uplet réponde au test d'admissibilité, la raison doit être un multiple des nombres premiers donc de la primorielle de .
On a indiqué ci-dessus les exemples et ; pour des quintuplets, une raison 6 n'est plus possible (voir les nombres premiers sexys), la raison minimale est égale à 30.
Conjecture des constellations La conjecture des constellations, liée à la , énonce que pour toute forme admissible donnée, il existe une infinité de constellations associées. Elle généralise la conjecture de Polignac qui énonce que, pour tout , il existe une infinité de constellations de type , elle-même généralisant la conjecture des nombres premiers jumeaux.
Références
Voir aussi
Théorème de la progression arithmétique, théorème de Green-Tao, conjecture de Dickson. Nombre de Skewes
Liens externes
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