En mathématiques, les coefficients binomiaux, ou coefficients du binôme, définis pour tout entier naturel et tout entier naturel inférieur ou égal à , sont des entiers donnant le nombre de parties (ou sous-ensembles, non ordonnés) à éléments d'un ensemble à éléments. On les noteLes deux notations sont préconisées par la norme ISO/CEI 80000-2:2009 : la première est celle du « coefficient binomial » (2-10.4) et la seconde celle du « nombre de combinaisons sans répétition » (2-10.6). ISO 80000-2:2009, Grandeurs et unités — Partie 2: Mathématiques, Première édition du 1 décembre 2009, chapitre 10 : Combinatoire. — qui se lit « parmi » — ou , la lettre C étant l'initiale du mot « combinaison ».
Les coefficients binomiaux sont donnés par :
,
ou, de manière équivalente, mais plus compacte, à l'aide de la fonction factorielle : . Ils interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : formule du binôme en algèbre, dénombrements, développement en série, lois de probabilités, etc. On peut les généraliser, sous certaines conditions, aux nombres complexes.
Lecture et expressions dans divers langages informatiques Le coefficient binomial se lit « parmi » en français, mais « choose » en anglais. Cette inversion de l'ordre de et se retrouve dans les langages informatiques ; par exemple, se note :
binom(n,k) ou comb(n,k) dans les modules scipy ou math de Python. ; binomial(n,k) en Maple. ; Binomial[n,k] en Mathematica. ; n \choose k en LaTeX (ou \binom{n}{k} avec amsmath). choose(n, k) en R.
Établissement de la formule Le coefficient binomial est le nombre de parties à éléments d'un ensemble à éléments. Par exemple, un ensemble à 4 éléments {a,b,c,d} contient parties à deux éléments, à savoir : {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}. Dans un jeu de cartes à 52 cartes, il y a mains possibles de 5 cartes (l'ordre des cartes dans une main ne compte pas) soit 2 598 960.
On dit aussi que est le nombre de -combinaisons prises dans un ensemble à éléments. Il se détermine en calculant de deux façons différentes le nombre de façons de choisir éléments de cet ensemble dans un ordre donné, autrement dit le nombre de -arrangements dans cet ensemble. Premièrement on a : .
En effet, on choisit le premier élément parmi les éléments de l'ensemble, le deuxième élément parmi éléments (puisque l'on ne peut pas reprendre le premier élément), le troisième parmi , etc. Deuxièmement, on a
.
En effet, on choisit une partie à éléments, que l'on peut permuter de façons différentes pour obtenir un ordre donné. La confrontation des deux calculs donne l'expression algébrique de , pour variant de 0 à :
en particulier, (dans un ensemble à éléments, il y a exactement une partie à 0 élément : l'ensemble vide) et de même, .
Si est strictement négatif ou strictement supérieur à , le coefficient binomial est nul.
Définition récursive des coefficients binomiaux La formule de Pascal lie les coefficients binomiaux : pour tout couple d'entiers naturelsY compris pour car . par exemple .,
On la démontre par un raisonnement combinatoire, mais on peut aussi utiliser la forme factorielleVoir par exemple , ou .
Elle est à la base de la construction du triangle de Pascal qui permet un calcul rapide des coefficients pour de petites valeurs de :
|0 :|| || || || || || || || ||1|| || || || || || || || |- |1 :|| || || || || || || ||1|| ||1|| || || || || || || |- |2 :|| || || || || || ||1||||2|| ||1|| || || || || || |- |3 :|| || || || || ||1|| ||3|| ||3|| ||1|| || || || || |- |4 :|| || || || ||1|| ||4|| ||6|| ||4|| ||1|| || || || |- |5 :|| || || ||1|| ||5|| ||10|| ||10|| ||5|| ||1|| || || |- |6 :|| || ||1|| ||6|| ||15|| ||20|| ||15|| ||6|| ||1|| || |- |7 :|| ||1 || ||7 || ||21|| ||35|| ||35|| ||21|| ||7 || ||1 || |- |8 :||1 || ||8 || ||28|| ||56|| ||70|| ||56|| ||28|| ||8 || ||1 |} Les coefficients pour figurent à la ligne d'indice . Le triangle est construit en plaçant des 1 aux extrémités de chaque ligne et en complétant la ligne en reportant la somme des deux nombres adjacents de la ligne supérieure. le nombre se lit de gauche à droite sur la ligne d'indice en partant de 0 jusqu'à .
Utilisation des coefficients binomiaux Développement du binôme de Newton
vignette|300x300px|Visualisation des coefficients binomiaux dans , , , . Ces nombres sont les coefficients qui apparaissent en développant la puissance -ième de :
Par exemple, on a :
En regardant la cinquième ligne du triangle de Pascal, on obtient les valeurs des coefficients binomiaux. Ainsi :
.
Dérivée d'ordre n d'un produit de fonctions Si est un entier supérieur ou égal à 1, et et deux fonctions fois dérivables en un point , alors leur produit est aussi fois dérivable au point , et la dérivée d'ordre est donnée par la formule de Leibniz :
Par exemple,
Combinatoire et statistique
Les coefficients binomiaux sont importants en combinatoire, parce qu'ils fournissent des formules utilisées dans des problèmes fréquents de dénombrement : Le nombre de parties à éléments dans un ensemble à éléments est égal à . C'est également le nombre de listes de longueur , constituées de 1 et de 0, et ayant fois l'élément 1 et l'élément 0. Ces parties ou ces listes sont appelées des -combinaisons sans répétition. Le nombre de suites de entiers naturels dont la somme vaut est égale à (nombre de -compositions faibles de ). C'est aussi le nombre de façons de choisir éléments d'un ensemble à éléments si les répétitions sont permises (nombre de -combinaisons avec répétition de objets). Le nombre de suites de entiers strictement positifs dont la somme vaut est égale à (nombre de -compositions de ). En théorie des probabilités et en statistique, les coefficients binomiaux apparaissent dans la définition de la loi binomiale. Ils interviennent dans la définition des polynômes de Bernstein et dans l'équation paramétrique d'une courbe de Bézier. D'un point de vue plus intuitif, ce nombre permet de savoir combien de tirages de éléments parmi n différents on peut réaliser. Exemple : les quatre as d'un jeu de cartes sont face contre table, on veut savoir combien de possibilités de jeu il existe si l'on prend simultanément deux cartes au hasard. Si l'on suit la formule il y en a six. Pour s'en persuader, voici la liste des mains : as de cœur et as de carreau as de cœur et as de trèfle as de cœur et as de pique as de carreau et as de trèfle as de carreau et as de pique as de trèfle et as de pique Il n'existe pas d'autres possibilités vu que l'ordre n'importe pas (« carreau - pique » est équivalent à « pique - carreau »).
Propriétés arithmétiques des coefficients binomiaux
Divisibilité Un entier est premier si et seulement si tous les pour sont divisibles par .
Les diviseurs premiers de possèdent la propriété suivante (théorème de Kummer (coefficients binomiaux)) : Si est un nombre premier et est la plus grande puissance de qui divise , alors est égal au nombre d'entiers naturels tels que la partie fractionnaire de soit plus grande que la partie fractionnaire de . C'est le nombre de retenues dans l'addition de et , lorsque ces deux nombres sont écrits en base ., § 1.2.6, ex. 11..
En particulier, est toujours divisible par (pgcd signifie plus grand commun diviseur).
La règle permet de déterminer les qui sont pairs. Il suffit pour cela de prendre et . La soustraction de par nécessite donc au moins une retenue en binaire. Cela signifie que, dans le développement binaire de , il se trouve au moins un 0 situé au même rang qu'un 1 dans le développement binaire de .
À l'inverse, est impair si, à chaque fois que possède un 1 dans son développement binaire, il en est de même de au même rang. On dit que implique . Par exemple, si est de la forme , tous ses chiffres binaires valent 1, et tous les seront impairs. Si , alors possède un seul 1 dans son développement binaire, et seuls et sont impairs, tous les autres sont pairs.
Une conséquence du théorème de Wilson est que est premier si et seulement si tous les sont congrus à modulo (pour ) , corollaire 10.. Par exemple, les nombres de la ligne du triangle de Pascal ( 1, 6 ,15, 20, 15, 6, 1) deviennent, après correction par , (0,7,14,21,14,7,0), tous multiples de 7.
Coefficients binomiaux égaux à des puissances On a , mais pour , Erdős a démontré en 1951 que le coefficient binomial n'est ni un carré, ni aucune puissance d'ordre supérieure .
Généralisations
Élargissement du domaine de définition Jusqu'à présent le coefficient binomial était défini pour et entiers naturels avec ≤ . Il existe plusieurs manières d'étendre le domaine de définition (ces différentes extensions de la définition étant compatibles les unes avec les autres).
Tout d'abord, l'interprétation combinatoire des coefficients binomiaux amène à poser pour . En effet, il n'existe pas de sous-ensembles à éléments d'un ensemble à éléments si .
Pour tout entier naturel et tout entier naturel compris entre 0 et , le coefficient binomial satisfait la formule . Le terme de droite dans cette égalité a toujours un sens lorsque est un entier relatif et même un nombre réel ou complexe et lorsque est un entier naturel quelconque. Si l'on utilise le symbole de Pochhammer pour les factorielles descendantes, alors pour tout nombre réel ou complexe et entier naturel on peut définir le coefficient binomial par la formule : . C'est cette définition des coefficients binomiaux qui est utilisée dans la formule du binôme négatif, dans la formule du binôme généralisée ainsi que dans la définition de la loi binomiale négative (généralisée à un premier paramètre réel).
Il existe une autre manière de définir pour entier naturel et entier relatif par la formule : qui ramène au cas initial lorsque est négatif.
Il est possible de poser lorsque est un entier négatif. L'avantage de cette convention est qu'elle conserve la plupart des formules établies jusqu'ici vraies. La définition de peut se généraliser, à l'aide de la fonction gamma . Pour tout entier naturel , , ainsi, pour tout entier naturel et pour tout entier naturel ≤ on a : . Comme la fonction est définie pour tout complexe qui n'est pas un entier négatif ou nul, on peut généraliser le coefficient binomial à tous complexes et qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls et tels que ne soit pas un entier négatif ou nul, par la formule : . Cette formule peut d'ailleurs s'écrire plus simplement à l'aide de la fonction bêta : . Enfin, il est possible d'unifier toutes les définitions précédentes avec la fonction gamma, en résolvant le problème de pôles de cette fonction par un passage à la limite : . Dans cette dernière formule, l'ordre des limites est important.. Cette définition donne une valeur infinie au coefficient binomial dans le cas où est un entier négatif non nul et n'est pas un entier.
+Récapitulatif des généralisationsCes définitions sont compatibles lorsque les domaines de définitions s'intersectent.GénéralisationDomaine de définitionDéfinitionNotations et remarques désigne la fonction gamma..
.
.
Coefficients multinomiaux
Une autre généralisation importante des coefficients binomiaux part de la formule du multinôme de Newton, laquelle permet de définir les coefficients multinomiaux.
Formules faisant intervenir les coefficients binomiaux On suppose que sont des entiers ; des complexes.
On rappelle que : (formule de Pascal)
(formule du binôme de Newton)
Les formules suivantes peuvent être utiles :
et plus généralement (formule parfois dite « du pion »).
En remplaçant dans (3) , on obtient
De nombreuses formules analogues peuvent être obtenues ainsi ; par exemple, avec et , on obtient si ; avec et (donc ), on obtient .
Dans l'identité (3), en remplaçant par 1 et en prenant la dérivée en 1 par rapport à , il vient
En développant avec (3), on obtient l'identité de Vandermonde :
et plus généralement
À partir du développement (8), en remplaçant et par et en utilisant (4), on obtient
.
En développant et en observant le coefficient devant , on obtient
.