Racine carrée de deux

La racine carrée de deux, notée (ou parfois ), est le seul nombre réel positif qui, lorsqu’il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit . C’est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à près est : .

vignette|L’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle de côté 1 vaut . Le calcul d’une valeur approchée de a été un problème mathématique pendant des siècles. Ces recherches ont permis de perfectionner les algorithmes de calculs d’extraction de racines carrées. En informatique, ces recherches se sont poursuivies afin d’optimiser ces algorithmes en réduisant les temps de calcul et la consommation de mémoire.

Géométriquement, est le rapport de la diagonale d'un carré sur son côté, c'est-à-dire le rapport de l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle sur l'un des côtés de l'angle droit, ce qui est un cas particulier du théorème de Pythagore.

Le nombre est connu depuis longtemps : en Mésopotamie, les scribes savaient déjà en calculer une valeur approchée très précise, dans le premier tiers du second millénaire avant notre ère. Vraisemblablement vers le , les mathématiciens grecs ont montré que la diagonale d'un carré et son côté étaient incommensurables, ce qui revient à dire que est un irrationnel. L'étude de l'incommensurabilité a joué un rôle important dans le développement des mathématiques grecques. Pour les Grecs, ni les fractions, ni les irrationnels ne sont des nombres. Ce pas est franchi par les mathématiciens arabes à l'origine de l'algèbre.

Ce nombre intervient dans des applications de la vie courante : les feuilles de papier au format international (ISO 216) ont une proportion longueur/largeur approchée à ; en musique, le rapport des fréquences de la quarte augmentée de la gamme tempérée vaut ; en électricité, la tension maximale du courant alternatif monophasé domestique vaut fois la tension efficace indiquée (généralement 110 ou ) ; en photographie, la suite des valeurs d’ouverture du diaphragme sont les valeurs approchées d’une suite géométrique de raison .

Dénomination

L’expression « racine carrée » est issue de la notation géométrique européenne qui prévalait avant la notation algébrique, et plus particulièrement de l’une des constructions de qui sera présentée à la section consacrée à l'historique ; en effet, les problèmes mathématiques ont souvent été présentés sous forme géométrique avant d’être ramenés à des expressions algébriques.

Le nombre 2 ayant exactement deux racines carrées réelles, et , pourrait se lire racine carrée positive de 2, ou racine carrée principale de 2. On le prononce simplement racine carrée de 2, voire racine de 2 pour simplifier. Une autre expression correcte, faisant référence au symbole , est « radical de deux », mais elle est peu courante.

On trouve parfois appelé constante de Pythagore, peut-être à cause d'une légende attribuant la découverte de l'irrationalité de à l'école pythagoricienneVoir ..

Le symbole a été vu pour la première fois en version imprimée sans la barre horizontale au-dessus des nombres à l’intérieur de la racine en 1525 dans Die Coss de Christoff Rudolff, un mathématicien allemand.

dans la vie courante Format de papier

vignette|Le rapport longueur/largeur d’une feuille de format A est une bonne approximation de . Les formats de papier A, B et C de la norme ISO 216, d’emploi courant hors de l’Amérique du Nord, ont été conçus pour vérifier une propriété remarquable : une feuille coupée en deux parties égales par la largeur, produit deux feuilles semblables à l’original ; c’est-à-dire avec le même rapport longueur/largeur. L’aire étant diminuée d’un facteur 2, ceci n’est possible que si ce rapport vaut ; dans la pratique, les dimensions sont arrondiesOn peut cependant remarquer que pour le format A4, et si le petit côté vaut exactement 21 cm, le grand côté (29,7 cm) ne diffère de 21 cm que de 15 microns..

Ci-dessous sont données les valeurs approximatives des formats A0 à A5 en fonction de . {| class="wikitable centre" |+ Valeurs approximatives des dimensions des formats A0 à A5 exprimées en fonction de . Dans la pratique, les dimensions sont arrondies. |- ! scope="col"| format !! scope="col"| longueur (m) !! scope="col"| largeur (m) !! scope="col"| aire (m) |- | A0 || || || |- | A1 || || || |- | A2 || || || |- | A3 || || || |- | A4 || || || |} Les séries B et C diffèrent de la série A respectivement d’un facteur () et ().

Les facteurs d’agrandissement de proposés par les photocopieuses sont des approximations de qui permettent le passage à des formats de papier supérieurs ou inférieurs — que ce soit physiquement ou par impression de pages par feuille.

En mathématiques, on note plus volontiers et .

Musique

La gamme du tempérament égal se construit ainsi : le rapport de fréquences entre les notes extrêmes de l’octave est 2 ; et la gamme est divisée en douze demi-tons de rapports de fréquence égaux . Le rapport de fréquences entre la note la plus haute et la plus basse est donc , qui vaut, comme indiqué précédemment, 2. Le demi-ton a ainsi un rapport . {| class="wikitable" |+ Rapports de fréquences des notes de la gamme tempérée par rapport à la note la plus basse. |- |style="width: 3em"| do |style="width: 3em"| do♯ |style="width: 3em"| ré |style="width: 3em"| ré♯ |style="width: 3em"| mi |style="width: 3em"| fa |style="width: 3em"| fa♯ |style="width: 3em"| sol |style="width: 3em"| sol♯ |style="width: 3em"| la |style="width: 3em"| la♯ |style="width: 3em"| si |style="width: 3em"| do

Dans ce système, la quarte augmentée (do–fa♯) et la quinte diminuée (do-sol♭) sont égales et valent six demi-tons ; elles ont un rapport de fréquences de . Le chant grégorien utilise cet intervalle, le triton, mais à la fin du Moyen Âge celui-ci est systématiquement évité car jugé trop dissonant. Il reçoit alors le surnom de « ».

Électricité vignette|Tension sinusoïdale : valeur efficace.

En électricité, la tension efficace d’un courant alternatif sinusoïdal monophasé — par exemple les ou du courant domestique — est reliée à l’amplitude de la tension par , noté aussi , soit, dans la plupart des applications courantes :

Cela est valable plus généralement pour la valeur efficace des grandeurs linéaires d’une onde sinusoïdale. On remarquera aussi que

On parle de bande passante à .

Photographie vignette|Diaphragme contrôlant l’ouverture d’un appareil photo.

Les ouvertures des appareils photographiques suivent la séquence normalisée . Le rapport entre deux ouvertures consécutives est une valeur proche de , qui a été choisie de sorte que le rapport de flux lumineux soit dans un rapport 2 (flux = diamètre). En diminuant d’un « cran » l’ouverture on double le temps de pose nécessaire ou diminue d’un la sensibilité de la pellicule requise..

Dans la pratique, l’ouverture indiquée est un arrondi ; l’ouverture réelle peut coller au plus proche de .. Il existe des subdivisions sur les appareils modernes, souvent dans des rapports ou .

{| class="wikitable" style="text-align: center" |+ Lien entre ouverture, diamètre du diaphragme et flux lumineux reçu à pose et sensibilités fixés. ! style="text-align: left" | Ouverture

! style="text-align: left" | Diamètre

! style="text-align: left" | Flux

Dupliquer un carré vignette|gauche|Construction d'un carré d'aire 2. La question de la duplication d'un carré correspond à la construction d'un carré d'aire double de celle d'un carré donné. On suppose que l'on dispose d'un carré d'aire 1 et l'on cherche à construire un carré d'aire 2. Par définition, le carré d'aire 1 possède un côté de longueur 1 et le carré d'aire 2 possède la même aire que celle de deux carrés d'aire 1.

Il existe deux méthodes simples pour s'en persuader. La plus directe consiste à étudier la figure de gaucheCette démonstration est proposée par Socrate dans Platon, Ménon 82.. Le carré de côté 1 est composé de deux triangles, celui de côté noté est formé d'exactement quatre triangles du même type, il est donc d'aire double. Une autre manière de se rendre compte du rapport deux entre les aires des carrés de la figure est l'usage du théorème de Pythagore. Un triangle isocèle rectangle de petit côté de longueur 1 possède une hypoténuse de carré égal à . Cette hypoténuse est la diagonale d'un carré de côté de longueur 1. vignette|Duplication du carré grâce au cercle|droite L'aire d'un carré s'obtient par multiplication de la longueur du côté par lui-même. La longueur du côté du carré d'aire 2 multiplié par lui-même est donc égal à 2. Par définition de , la longueur de ce côté est .

Il est en outre possible, à l'aide d'un cercle, de dupliquer le carré sans en changer l'orientation. Dans la figure ci-contre le grand carré a une surface double du petit carré. Il suffit pour s'en convaincre de faire pivoter le petit carré d'un huitième de tour. Le rapport des côtés des deux carrés est donc de . La figure de gauche illustrera, pour les mathématiciens futurs la présence de la racine carrée de deux dans le sinus et le cosinus du huitième de tour.

Plus tard, ce tracé séduit de nombreux architectes comme Andrea Palladio dans sa Villa Rotonda ou dans l’Église ronde de Preslav. On le retrouve dans le cloître de la cathédrale de Cahors où la surface de la cour intérieure est égale à la surface de la galerie qui l'entoureGuillaume Reuiller, L'aire de RIEN, Palais de la découverte, mesure vérifiable sur un plan de 1841. ou dans les carnets de Villard de Honnecourt in , ..

Preuves d'irrationalité Il existe de nombreuses démonstrations en recense 27. du fait que est irrationnel. Plusieurs d'entre elles n'utilisent que des connaissances arithmétiques très minimales, d'autres se généralisent en remplaçant par où l'entier naturel n'est pas un carré parfait (voir l'article « Irrationnel quadratique »). Certaines sont des reformulations, avec les concepts et le langage mathématiques actuels, de preuves antiques ou supposées telles ( § Histoire).

Elles procèdent souvent en utilisant simplement la définition de la négation, en supposant que est, au contraire, rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous la forme pour certains entiers et , puis en déduisant une contradiction de cette hypothèse , qui s'écrit aussi .

Par parité Soit le plus petit entier strictement positif tel que soit le double d'un carré, et soit l'entier positif tel que . Alors, (puisque ) et est pair (puisque son carré l'est). En notant (ce qui donne ) et en simplifiant par 2 (soit ), l'équation se réécrit alors , avec , ce qui contredit la minimalité dans le choix de .

Une variante consiste à pratiquer une descente infinie à partir d'une (hypothétique) solution : on construit comme ci-dessus, puis tels que , , , … et , ce qui est absurde puisqu'il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante d'entiers positifs.

Par soustractions réciproques Soient à nouveau et entiers strictement supérieurs à tels que avec le plus petit possible ou, ce qui revient au même, le plus petit possible. On déduit de que , d'où en posant. A. Bogomolny, sur Cut The Knot (Proof 8), signale également la note, dès l'édition de 1920, de . et : , ce qui contredit la minimalité de , puisque .

En résumé : soit le plus petit entier strictement supérieur à tel que est entier, alors est encore un tel entier qui est strictement inférieur à , d'où une contradiction, présente cette reformulation pour la variante 2r/s (égale à 2/ = et dont le dénominateur s vérifie r < s < q)..

(On peut, comme précédemment, transformer ce raisonnement en une descente infinie.)

Par un argument géométrique vignette|Si le triangle est isocèle rectangle avec ses côtés de longueurs entières, alors c'est aussi le cas du triangle , qui est de dimensions plus petites. Démontrer l'irrationalité de revient à démontrer que, pour une unité donnée, il n'existe pas de triangle isocèle rectangle dont les côtés sont chacun de longueur un nombre entier d'unité.