En mathématiques, la formule de sommation par parties (parfois appelée transformation d'Abel ou sommation d'Abel) permet de transformer une somme d'un produit de suites finies en d'autres sommes, simplifiant souvent le calcul et permettant l'estimation de certains types de sommes. C'est un analogue discret de l'intégration par parties.
Elle est à la base du critère d'Abel permettant d'obtenir la semi-convergence de certaines séries.
Énoncé et démonstration Si et sont des suites numériques, la formule de sommation par parties s'écrit :En effet, d'une part par télescopage,
et d'autre part :
Exemple d’application directe Le calcul , permet d'écrire :
Similitude avec l'intégration par parties La formule d'intégration par parties s'écrit :Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale ( devient ) et à dériver l'autre ( devient ).
La sommation par parties consiste en une opération analogue dans un contexte discret, puisque l'une des deux séries est sommée ( devient ) et l'autre est différenciée ( devient ).
On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.
Reformulation conduisant au critère d'Abel
Reformulation Soient deux suites et . Notons, pour tout entier naturel
les sommes partielles des séries de termes généraux et .
AlorsPour une démonstration, voir par exemple la section « Critère d'Abel » dans le cours de Wikiversité sur les séries. :
.
Inégalité d'Abel On en déduit l'inégalité d'Abel: si la suite est décroissante positive, alors , où est un minorant des , et un majorant.
En effet, , donc et de même pour l'autre inégalité.
Critère d'Abel
Le théorème suivant est une conséquence directe de la formule précédente.La démonstration montre de plus l'inégalité :
,
pour tout majorant des .
Test de Dirichlet
Un cas particulier est le test de Dirichlet, parfois appelé lui aussi « théorème d'Abel »« Théorème d'Abel », Université en ligne. :Le critère de convergence des séries alternées en est lui-même un sous-cas : si est décroissante et de limite nulle, alors la série est convergente.
Exemples d'applications
La suite est monotone et de limite nulle et la série a ses sommes partielles bornées car donc d'après le test de Dirichlet, la série converge. De même, pour tout nombre complexe de module , la série du logarithme complexe converge. La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel sur les séries entières.
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Formule sommatoire d'Abel
Liens externes Article de Niels Henrik Abel de 1826 (où figure la sommation par parties), en ligne et commenté sur Bibnum
Catégorie:Série divergente