En mathématiques, le développement en série de Engel d'un nombre réel strictement positif , moins connu que son développement en fraction continue mais étroitement lié., est son expression sous la forme :

où les forment une suite croissante d'entiers naturels non nuls. Il y a existence et unicité de la suite pour tout strictement positif.

Son appellation honore Friedrich Engel, qui l'a étudié en 1913 ; traduction en anglais : https://oeis.org/A006784/a006784.pdf. ; on l'utilise en théorie des nombres (ou : Théorie des nombres, Dunod, 2007). et en théorie des probabilités.

Un développement similaire est le développement en série de Pierce, dans lequel les termes sont de signes alternés.

Écriture condensée On utilisera dans cet article la notation .

De plus, lorsque appartient à , on a toujours . On écrira donc plus simplement un réel non entier de cet intervalle sous la forme où est la partie entière de ; on a alors .

Par exemple, le nombre , situé entre et , s'écrit Voir la ..

Premiers exemples

Un développement par une suite constante correspond à une série géométrique : (pour tout entier ). Celui du nombre correspond au développement obtenu à partir de la série entière de l'exponentielle : ; donc . Plus généralement, . Le nombre Voir la ., somme des inverses des primorielles, est le nombre pour lequel la suite est la suite croissante de nombres premiers.

Expression des sommes partielles La somme partielle peut s'écrire après factorisations sous les formes équivalentes suivantes :

, fraction continue ascendante,

à comparer avec le développement en fraction continue descendante classique : ;

cette expression montre que peut se calculer à partir de avec divisions et additions (les additions consistant juste à ajouter ).

Le nombre s'écrit alors .

Construction du développement La suite s'obtient par l'algorithme suivant, dû à Henry Briggs :

De sorte que .

On obtient par exemple : , voir la .

La liste des développements de Engel publiés dans l'OEIS se trouve ici.

Ceci permet de prouver l’irrationalité de nombres dont on connait un développement du type comme , , , , , , ..

Variante différenciant les rationnels des irrationnels

Le réel positif s'écrit aussi de manière unique sous la forme : , où les forment une suite finie ou infinie croissante (au sens large) d'entiers strictement positifs, mais où l'on s'interdit une suite infinie constante à partir d'un certain rang. De plus, ces entiers s'obtiennent en utilisant cette fois la fonction partie entière supérieure :

en convenant que si un est nul, la suite d'entiers s'arrête à . Le réel est alors irrationnel si et seulement si la suite des est infinie, et dans ce cas (par unicité) les deux constructions coïncident. Lorsque est rationnel, la suite finie et la suite infinie stationnaire coïncident jusqu'au rang , et pour tout , .

Par exemple : (à comparer avec le développement de ci-dessus).

Notons que cet algorithme fournit, pour tout rationnel strictement compris entre 0 et 1, un développement en somme de fractions égyptiennes de dénominateurs distincts. Cette écriture avait été vue par Fibonacci dans son Liber abaci (1202).

Algorithme par divisions euclidiennes dans le cas rationnel Pour rationnel, la suite du développement s'obtient à partir d'un algorithme utilisant des divisions euclidiennes successives, comme pour l'algorithme d'Euclide pour et :

Initialisation

On pose et .

Récurrence

À l'étape , si :

est le quotient de la division euclidienne de par ajouté de 1 est égal à auquel on retranche le reste de cette division

La division euclidienne s'écrit donnant .

Si , on arrête le processus, et .

On obtient , qui se développe en .

On l'applique pour Étape Diviseur Division euclidienne01137 = 11 × 4 - 7471737 = 7 × 6 - 5652537 = 5 × 8 - 3833337 = 3 × 13 - 21324237 = 2 × 19 - 1191 Soit : .

Formule de Stratemeyer Cette formule donne le développement de Engel des nombres quadratiques de la forme : où est un entier ;

la suite étant définie par et , on a : .

Par exemple, , voir la .

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes Fraction continue Développement en série de Sylvester Développement en série de Pierce Développement en cotangente continue de Lehmer

Liens externes

Engel Catégorie:Fraction continue