En mathématiques, le produit infini de Cantor est un produit infini particulier défini par récurrence permettant d'exprimer tout nombre réel strictement supérieur à 1. Il a été introduit par Georg Cantor en 1869 .
Énoncé du théorème de décomposition Tout nombre réel strictement plus grand que 1 s'exprime, de manière unique, sous la forme d'un produit infini de Cantor :où les sont des entiers naturels non nuls, vérifiant pour tout naturel , et pour assez grands..
Construction du produit
On définit les nombres suivants, où représente la partie entière de : .
De on déduit aisément que . On peut donc itérer le principe précédent et obtenir : .
Caractérisation des nombres rationnels
Exemples
Pour tout entier , ; la suite vérifie bien . , avec et , voir la . D'après le théorème précédent, on voit donc que est un nombre irrationnel (même s'il y a beaucoup plus simple pour le démontrer). Plus généralement, Pour tout entier , , avec et .
L'intérêt premier du développement en produit de Cantor est la rapidité de convergence de l'algorithme, ce qui en fait un candidat intéressant pour une implémentation sur calculatrice.
Notes et références
Articles connexes Fraction continue Système de numération à bases de Cantor Développement en série de Engel
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