La modélisation d'un robotJean-Paul Laumond, Leçon inaugurale prononcée le jeudi 19 janvier 2012 au Collège de France La robotique traite du rapport que peut entretenir avec le monde réel une machine qui bouge et dont les mouvements sont commandés par un ordinateur. Ainsi le robot se distingue-t-il à la fois de l’automate, dont les mouvements sont mécaniquement déterminés, et de l’ordinateur, qui manipule des informations mais ne bouge pas., considéré comme étant un système mécanique articulé, actionné et commandé, consiste à en établir un modèle mathématique. Outre une fonction générale d'aide à la conception, elle a de multiples utilisations pour, la prédiction des mouvements, l'adaptation des actionneurs, la planification des tâches, l'établissement des lois de commande, l'incorporation du robot dans des simulations informatiques, etc. Dans le langage courant, la modélisation précède la simulation sans que l'on distingue une séparation nette entre ces deux activités.
Il est souvent acceptable de se contenter d'une modélisation simplifiéeDe toute façon, à l'exception de cas très simples, toute modélisation implique une description schématique, qui cependant ne diffère « pas trop » du monde réel. dans laquelle on ne tient pas compte des aspects qui sont, ou paraissent, secondaires tels que : les vibrations, les déformations élastiques, les jeux mécaniques, les tolérances de fabrication, etc.
Dès lors, on est ramené dans le cadre classique de la mécanique rationnelle des solides rigides, appliquée sur des chaînes cinématiques ayant des liaisons holonomes ou non holonomesL'exemple utilitaire de la planification des manœuvres (non holonomes) d'un tracteur à roues auquel sont attelées plusieurs remorques, cause des problèmes compliqués et spécifiques qui ne sont pas envisagés dans le présent article.. Les données constructeur étant supposé connues, la modélisation en robotiqueUne des difficultés pratiques de la modélisation en robotique provient du nombre relativement élevé des degrés de liberté (6 pour un bras manipulateur, 30 pour l'humanoïde HRP-2), ce qui souligne l'importance de conventions et de notations judicieuses., se situe donc typiquement dans le vaste domaine des mathématiques appliquées.
De plus, les nouveaux besoins et les nouvelles possibilités technologiques stimulent les activités de recherche en informatique, automatique, méthodes mathématiques, biomécanique, mécatronique et autres techniques apparentées.
Il y a deux manières d'aboutir à des résultats quantitatifs : Par des algorithmes numériques spécifiques, qui utilisent généralement la récurrence. Avec des logiciels de calcul symbolique, adaptés au traitement des systèmes mécaniques, et qui manipulent les expressions algébriques (exemples : AUTOLEV, NEWEUL, AUTOSIM, ROBOTRAN, MESAVERDE, KINDA…).
Modélisation géométrique Le système mécanique articulé représentant un robot est une chaîne cinématique de corps solides, qui sont reliés entre eux par des articulations. Il est représenté mathématiquement par un système dynamique dont les N variables de configuration q sont les variables articulaires auxquelles s'ajoutent 6 variables supplémentaires dans le cas d'une base libre (ou flottante). La modélisation géométrique fait principalement appel aux méthodes de la géométrie analytiquegéométrie euclidienne à 3 dimensions, et elle emprunte aussi quelques notions à la théorie des graphes pour le traitement des chaines cinématiques. Elle établit les relations entre les variables articulaires q dans l'espace de configuration et les coordonnées X, généralement cartésiennes, de certains points du robot, dans l'espace opérationnel, ou espace de travail. Terminologie : La relation X = F(q) correspond au modèle géométrique direct (la configuration q est donnée). La relation q = G(X) correspond au modèle géométrique inverse (la situation X dans l'espace opérationnel, est donnée).
Description topologique - Architecture
Chaines cinématiques Des distinctions peuvent être faites entre : Chaîne ouverte simple; exemples : bras mécaniques plus ou moins autonomes. Chaîne arborescente; exemples : robot anthropomorphes. Chaîne fermée; exemples : robots à architectures parallèles.
systèmes à base fixe et systèmes à base mobile À base fixe, souvent les bras manipulateurs fréquemment utilisés dans l'industrie. Systèmes (plus ou moins) libres dans l'espace ; (exemples : robots marcheurs à pattes, robots mobiles sur roues).
Articulations En négligeant les jeux mécaniques, les articulations sont des liaisons bilatérales qui apparaissent mathématiquement sous forme de contraintes égalités. Pour simplifier, le présent exposé est restreint aux articulations à un degré de liberté (pivot ou glissière : 1 ddl), dont la variable articulaire est un scalaire noté « q ». (D'autres articulations procureraient plus d'un ddl ; pivot glissant : 2ddl, rotule : 3ddl, etc.) Cependant, dans le cas d'une base mobile le symbole «q», représentera la position et l'orientation de la base et désignera jusqu'à 6 variables.
L'environnement Bien que ne faisant pas partie, au sens strict, du robot, l'environnement est placé dans cette section. Influence du milieu ambiant : excepté pour quelques robot spatiaux, il est indispensable de tenir compte du champ de pesanteur et, éventuellement, des forces dues à l'atmosphère. Pour agir effectivement dans un monde matériel peuplé d'objets et d'obstacles, les deux fonctions essentielles d'un robotDrone, Avion-robot, UAV = Unmanned Aerial Vehicle, AUV = Autonomous Underwater Vehicle, etc., ne sont pas considérés ici. sont la locomotion et la préhension. Une locomotion de type terrestre peut être effectuée par reptation, patte, roue motrice, chenille. Les obstacles et les objets sont schématisés par des figures géométriques simples ou plus élaborées (voir B-Rep). Un exemple habituel très simple est le plan d'appui horizontal introduit pour supporter les évolutions d'un robot mobile. Les contacts ponctuels sans frottement sont directement modélisés par des liaisons unilatérales, qui correspondent à des contraintes inégalités. Une modélisation complète et détaillée devrait même aborder les problèmes de Détection des collisions. Pour représenter les frottements sec entre corps solides, la loi de Coulomb, malgré sa rusticité et son apparente simplicité, aboutit fréquemment à des complications mathématiques.
Numérotation des corps À la structure du robot correspond un graphe orienté : les corps sont les nœuds (sommets) et les articulations sont les arcs. Dans le cas d'une chaîne ouverte (acycliques), le graphe est une arborescence. On peut alors utiliser, le vocabulaire généalogique des lignées paternelles : ainsi pour chaque corps les 4 termes : ascendants, père, fils, descendantsUn corps donné peut posséder un nombre variable d'ascendants, de fils, de descendants, mais il n'a qu'un seul père (avec père(1)=0); sont définis de manière intuitive. Chaque corps est désigné par son numéro dénominatif qui respecte la convention «Numéro du père < Numéro du fils». À chaque corps est attaché son repère propre, de même numéro dénominatif.
Prérequis mathématique Espace vectoriel euclidien à trois dimensions Vecteurs et matrices Définitions dans l'espace euclidien à 3 dimensions . Base orthonorméeDans un espace euclidien, les longueurs sont définies par le produit scalaire : trois vecteurs de longueur un, perpendiculaires entre eux. Orientation: Ce terme a plusieurs significations: Orientation d'un plan par le sens de rotation d'un point sur un cercle ; deux sens de rotation : sens antihoraire ou trigonométrique ou CounterClockWise OU sens horaire ou des-aiguilles-d'une-montre ou ClockWise. Orientation propre d'un trièdre, d'un repère cartésien donné : direct ou indirect, on peut utiliser des règles basées sur la distinction entre la gauche et la droiteConventions pour orienter l'espace ., règle de trois doigts de la main droite, du bonhomme d'Ampère. Orientation d'un axe dans l'espace ou d'une ligne de visée : par deux paramètres, deux angles (exemple : azimut et site ou hauteur). Orientation dans l'espace d'une base ou d'un repère ou d'un solide rigide : par trois paramètres, (exemple : trois angles d'Euler, trois angles de Tait-Bryan). Soit le vecteur libre , dont les composantes sont dans une base orthonormée de l'espace
Sous la condition de spécifier que ce vecteur est exprimé dans la base il peut être caractérisé par une matrice dont les trois éléments sont les composantes du vecteur. En pratique, les calculs effectifs sont effectués en utilisant l'écriture matricielle suivante :
Avec cette notation, le produit vectoriel , projetée dans , prend la forme matricielle : . Cependant, en pratique, lorsque le risque d'ambiguïté semble faible, l'écriture fautive : est tolérable. De même, au produit scalaire correspond l'expression matricielle .
Changement de bases Soit deux bases orthonormées dans l'espace euclidien à trois dimensions : , dénommée l' «Ancienne base»; , la « Nouvelle base » que l'on caractérise par l'exposant « prime ». La définition des composantes (ou coordonnées)Remarque : Les théories générales distinguent les composantes covariantes des composantes contravariantes .
Mais dans le cas des bases orthonormales des espaces euclidiens, cette distinction est inutile car revient à écrire :
La matrice de passage directe , qui donne les anciennes coordonnées du vecteur dans en fonction des nouvelles dans , est déterminéeCes notations sont critiquables : il faut bien distinguer l'indication des bases dans de l'indication des indices « ligne, colonne » de la matrice de passage. La position inférieure des indices provient de par :
avec
Règle mnémotechnique : Les colonnes de la matrice de passage sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base, exprimés dans l'ancienne base.
Dans le cas où les bases sont orthonormées, la matrice de passage est orthogonale. Son inverse, qui est dénommée matrice de passage inverse, est égale à sa transposée, et la valeur absolue de son déterminant est égale à 1 :
, et autrement dit :
Pour les vecteurs (vecteurs polaires) , la formule du changement de coordonnées s'écrit :
ou bien Par convention : (Anciennes coordonnée)= (Matrice DIRECTE) × (Nouvelles coordonnées prime).. Lorsque les bases orthonormées et ont la même orientation, alors , et correspond à une rotation dans l'espace. Sinon , et correspond à l'association d'une rotation avec une symétrie par rapport à un plan. L'introduction de repères orientés dans le sens indirect rend les notations relatives aux robots présentant un plan de symétrie sagittal plus maniables. En effet, en cas de configuration symétrique, les variables articulaires qui sont à gauche sont alors égales à celles qui sont à droite.
Espace ponctuel à trois dimensions Dans l'« espace ordinaire »Espace ponctuel affine euclidien à 3 dimensions de la physique classique., un déplacement quelconque se décomposePeut être considéré comme un Mouvement hélicoïdal(synonyme vulgaire : vissage). en une translation et une rotation. Repères On utilise des repères orthonormés « R » qui sont constitués par une origine O et une base de trois vecteurs. Ainsi, la position d'un point géométrique M peut être caractérisée par un seul vecteur (ses coordonnées étant ), tandis que la position d'un repère (ou d'un solide) est défini par celle d'un point particulier et aussi par son orientation (orientation dans l'espace).
Changement de repères Soit 2 repères orthonormées, R et R', définis par leurs origines O et O' et par leurs bases et Avec : la matrice de passage directe (33) ; , pour caractériser la translation de O vers O'. La matrice de passage (44) en coordonnées homogènes, prend la forme :
L'inverse de la matrices de passage (44) directe est la matrice de passage (44) homogène inverse :
Et les formules de changements de repères s'écrivent :
Expressions des matrices de passages