En mathématiques, la constante de Gelfond est le nombre réel transcendant , c'est-à-dire à la puissance .
Sa transcendance fut démontrée en 1929 par Alexandre Gelfond. C'est un cas particulier de son théorème de 1934. En effet, les nombres (différent de 0 et 1) et (non rationnel) sont algébriques, or
(En considérant, la détermination principale de l'argument).
Cette constante fut mentionnée dans le septième problème de Hilbert. Une constante reliée est la constante de Gelfond-Schneider, 2.
Valeur numérique
Sous forme décimale, la constante est égale à
()
Sa valeur numérique peut être trouvée avec l'itération
où
Après N itérations, l'approximation est donnée par
Développement décimal remarquable
Le nombre
()
est un nombre presque entier.
L'explication d'une telle propriété a été trouvée par A. Doman en , qui a établi le résultat comme une somme liée aux fonctions thêta de Jacobi :
Le premier terme de la série domine car on a comme reste de la somme pour égal à environ . La somme peut ainsi être tronquée au premier terme , ce qui donne . Par réécriture en et en utilisant l'approximation classique , on en déduit Ainsi, on retrouve l'approximation voulue On peut d'ailleurs remarquer que l'approximation ajoute de la précision, malgré sa faiblesse.
Autres constantes liées Constante de Ramanujan Le nombre , aussi appelée constante de Ramanujan, est un autre nombre presque entier :
= ...
dont la valeur est très proche de l'entier . Cette approximation est une application des nombres de Heegner, où 163 est le nombre de Heegner considéré. Cette propriété a été découverte en 1859 par Charles Hermite. Dans un article du 1er avril du Scientific American, l'auteur de "Mathematical Games" Martin Gardner affirme faussement que le nombre est en fait entier et que le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan l'avait prouvé, d'où le nom de la constante. On sait aujourd'hui que ce nombre est transcendant.
La coïncidence, au trillionième du nombre , est expliquée par la multiplication complexe et le q-développement du j-invariant, plus précisément :
avec le terme d'erreur,
ce qui explique pourqui est inférieur à .
Le nombre Le développement décimal de est donné par :
...
On ignore si ce nombre est transcendant ou non, mais, par le théorème de Gelfond-Schneider, on peut seulement déduire définitivement si oui ou non est transcendant si et sont algébriques ( et étant tous deux supposés complexes).
Dans le cas de , on peut prouver que ce nombre est transcendant grâce aux propriétés des exponentielles complexes, or on a , ce qui permet d'appliquer le théorème de Gelfond-Schneider.
Cependant, n'a pas de telle écriture équivalente, ainsi, puisque et sont transcendants, le théorème ne permet pas de conclure sur la transcendance de . Toutefois, la conjecture de Schanuel, qui reste improuvée, impliquerait la transcendance.
Un problème classique consiste à comparer et , dont on peut montrer que par étude de la fonction .
Le nombre Avec la valeur principale du logarithme complexe
Le développement décimal du nombre est donné par : ...
Sa transcendance se déduit directement de celle de et d'une deuxième application du théorème de Gelfond-Schneider.
Références
Voir aussi Lien externe
Bibliographie
Crédit d'auteurs
Catégorie:Pi Catégorie:Nombre transcendant Gelfond