La théorie des figures d'équilibre telle que considérée ici résulte d'études traitant du problème de la forme d'équilibre de la Terre, en supposant que celle-ci soit causée par la seule force de pesanteur, à l'exclusion de forces de cohésion internes ou de forces électriques et magnétiques. Reposant sur la notion de surface de niveau, elle requiert l'existence d'un potentiel de pesanteur à l'intérieur du corps étudié. Cela exclut la présence d'une rotation différentielle (sauf si celle-ci correspond à une rotation différentielle en couches cylindriques coaxiales).

Ce problème est vieux de plus de trois siècles (cf Modèle ellipsoïdal de la Terre), mais reste actuel, avec des applications intéressantes en géodésie et en géophysique. Il est fermement enraciné dans la théorie générale des figures de corps cosmiques en rotation, qui est l'un des domaines de recherche active en astrophysique et en physique planétaire. Z. Kopal (1978). Dynamics of close binary systems, Reidel Publishing Company. N.R. Lebovitz (1967). Rotating fluid masses, Annual Reviews of Astronomy and Astrophysics, vol. 5, 465–480. Tirage–à-part de cet article J.L. Tassoul (1978). Theory of rotating stars, Princeton University Press. V.N. Zharkov & V.P. Trubitsyn (1978). Physics of planetary interiors (translated and edited by W.B. Hubbard), Pachart Publishing House, Tucson.. Toutefois, pour des corps cosmiques en rotation lente (la Terre par exemple) et si l'on admet qu'il y a équilibre hydrostatique, la théorie des figures semble avoir atteint un niveau de finition acceptableArticle traduit du russe en anglais : . L'étude de la figure hydrostatique de la Terre a profondément influencé la naissance et le développement de la géodésie physique et de la géophysique. Elle a aussi contribué aux fondations de la physique de Newton, de l'hydrostatique, de la mécanique analytique, de l'analyse mathématique et de la physique mathématique pendant les . Elle est associée aux noms de nombreux mathématiciens et physiciens distingués de cette époque..

Équations fondamentales

La figure d'équilibre hydrostatique de la Terre est étudiée dans le cadre général de la mécanique des milieux continus. Les équations de base d'un continuum sont, en formulation eulérienne : l'équation de continuité, qui exprime la conservation de la masse : , l'équation de mouvement, qui exprime la conservation de la quantité de mouvement, ou impulsion : . Dans ces équations qui s'apparentent fortement aux premières équations de Navier-Stokes, ρ(x, x, x) désigne la masse volumique en un point spatial P repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, x, x), (v, v, v) le champ de vitesses au même point, (f, f, f) le champ de force volumique et T, avec i, k = 1, 2, 3, le tenseur des contraintes en P.

Dans les circonstances habituelles, qu'on supposera réalisées ici l'équation de rotation qui exprime la conservation de la quantité de rotation, ou moment cinétique, implique que le tenseur des tensions est symétrique :

et se réduit donc à six composantes indépendantes au lieu de neuf : T, T, T, T = T, T = T, T = T.

Relation constitutive

Pour rendre le problème d'une figure d'équilibre traitable, il faut se donner une loi rhéologique (ou relation constitutive) permettant d'exprimer le champ des tensions en termes de champs dérivés du champ des vitesses ou des déplacements. En général, on suppose que le comportement rhéologique à long terme du milieu continu étudié est celui d'un fluide parfait. Alors, le tenseur des tensions Tij est isotrope et peut se décrire au moyen d'un champ de pression scalaire p, soit , où δ représente le symbole de substitution de Kronecker : δ vaut 1 si i et j sont égaux, et 0 sinon.

Rotateur permanent Définition d'un rotateur permanent

On peut simplifier le problème encore davantage en supposant que la figure d'équilibre constitue un rotateur permanent. On définit un corps en rotation permanente comme suitJ.L. Tassoul (1978). Theory of Rotating Stars, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, . : il est isolé dans l'espace et tourne autour d'un axe fixe ; son mouvement est stationnaire dans un système d'inertie, et la densité de chaque point massique individuel reste constante au cours du mouvement ; on peut négliger les effets dissipatifs, notamment les frictions ; aucune force électromagnétique n'agit sur le corps.

Champ de vitesse d'un rotateur permanent

Constatons que l'on n'a pas encore spécifié la vitesse angulaire ω. Admettons maintenant que le corps tourne autour de l'axe (O x) et prenons l'origine O du système d'axes au centre de masse du corps. Considérons des coordonnées cylindriques (h, λ, z) définies en termes des coordonnées cartésiennes (x, x, x) par la loi de transformation : . Ainsi, dans un système d'inertie, les composantes de la vitesse prennent la forme .

Équation de continuité pour un rotateur permanent

Comme la densité d'un point massique appartenant à un rotateur permanent ne varie pas le long de sa trajectoire, on a . L'équation de continuité implique donc que le mouvement est indivergentielOn dit aussi solénoïdal pour indivergentiel., c'est-à-dire .

Symétrie du champ de vitesse d'un rotateur permanent

En coordonnées cylindriques, cette équation devientEn effet, en coordonnées cylindriques l'équation s'écrit . Compte tenu du fait que v et v sont nuls et que v vaut ω h, on a donc . , ce qui implique quune rotation permanente est caractérisée par un champ de vitesse qui ne dépend pas de la variable λLa variable λ correspond généralement à la longitude., soit . Un cas particulier d'un rotateur permanent est un rotateur rigide, pour lequel la vitesse angulaire est constante : . Le corps concerné tourne alors en bloc sur lui-même : on dit que la figure d'équilibre correspondante est en équilibre relatif.

Or, l'hypothèse d'une rotation permanente ne requiert pas seulement que dρ/dt = 0, mais aussi que ∂ρ/∂t = 0, d'où l'on tire au moyen de l'équation de continuité que . Cette dernière relation montre que pour une rotation permanente les lignes de courant sont orthogonales au gradient de densité local. Dans le système de coordonnées cylindriques adopté, cette relation s'écrit .

Symétrie de la distribution de masse d'un rotateur permanent

En supposant que le corps tourne effectivement (ω ≠ 0) comme un rotateur permanent par rapport à un référentiel d'inertie, on trouve donc que . On en déduit que la distribution de densité dans un rotateur permanent possède une symétrie axiale, et la même conclusion s'impose (voir ci-dessus) pour le champ de vitesse angulaire. Ainsi, ce champ ω = ω(h, z) ne possède pas de tourbillon (il est irrotationnel) dans le plan (O x x), donc .

Équation de mouvement d'un rotateur permanent

En termes de coordonnées cartésiennes, le champ de vitesse peut donc s'écrire . En vertu des relations ∂v/∂x = 0 et v ∂ρ/∂x = 0, la quantité ∂(ρ v v) / ∂ devient simplement ρ v ∂v / ∂x. Dès lors, l'équation de mouvement prend la forme particulière .

Potentiel gravifique d'un rotateur permanent

Selon la définition d'un rotateur permanent énoncée plus haut, il est évident que le champ de force volumique f est simplement le champ de force engendré par l'autoattraction gravitationnelle, c'est-à-dire . Il est bien connu que la force gravifique spécifique g en un point P est fournie par l'expression , où d(P, Q) représente la distance entre le point attiré P et un quelconque point attirant Q du corps B. La quantité e désigne la i composante d'un vecteur unitaire porté par le segment de droite qui joint P à Q, et orienté de P à Q. L'élément de volume en Q est dénoté par dτ(Q). On sait de même que la force volumique g dérive en chaque point de l'espace d'une fonction scalaire V, appelé potentiel gravitationnel. Ainsi, . On définit aussi ici ce potentiel V, en accord avec la convention généralement adoptée par les physiciens, comme l'énergie potentielle par unité de masse d'un élément matériel situé au point P. Cette énergie potentielle résulte de l'interaction gravitationnelle de l'élément matériel en P avec tous les autres éléments matériels composant le corps B, de sorte que . Selon cette définition, le potentiel gravifique est toujours négatif, et correspond physiquement à une énergie de liaison. Il faut remarquer que les astronomes et les géodésiens, et aussi de nombreux géophysiciens, adoptent une définition différente pour le potentiel gravifique, à savoir ils l'assimilent au travail qu'un élément matériel de masse unitaire accomplit dans le champ de force gravifique g en passant d'un point situé à l'infini au point P. Ce travail représente l'énergie potentielle par unité de masse changée de signe, et est donc positif. La convention des physiciens adoptée ici possède l'avantage, en retenant la correspondance directe entre potentiel et énergie potentielle, de faire en sorte qu'un point massique tend toujours à mouvoir vers des régions où le potentiel est plus bas. La constante G ci-dessus est la constante de gravitation.

Symétrie des figures d'équilibre

Lorsqu'on étudie la théorie des figures pour des corps cosmiques comme la Terre ou les planètes, c'est-à-dire pour des corps hétérogènes en rotation autour d'un axe polaire, la principale difficulté provient du fait qu'on ne peut pas admettre a priori une forme déterminée pour une surface de niveau, comme dans le cas de la théorie des figures d'équilibre des masses homogènes (par exemple, le sphéroïde de Maclaurin ou l'ellipsoïde de Jacobi) considérés en astronomie ou des ellipsoïdes de référence discutés en géodésie physique. Dès lors, l'examen des éléments de symétrie d'une figure d'équilibre permet de simplifier appréciablement la théorie. Dans la suite de cet article, on va considérer le cas de la Terre, mais la théorie générale s'applique aussi aux autres corps planétaires ainsi qu'aux étoiles simples.

Tout d'abord, on suppose que la Terre est en rotation permanente, excluant ainsi de notre étude les phénomènes de marée ou des phénomènes électromagnétiques, par exemple. On a vu plus haut que sous ces conditions, le champ de vitesse angulaire et le champ de densité possèdent tous les deux une symétrie de révolution. Il s'ensuit que le potentiel gravifique d'un rotateur permanent possède lui aussi la même symétrie axiale. Cette propriété de symétrie de peut être établie mathématiquement comme suit : soient (h, λ, z) et (h', λ', z') les coordonnées cylindriques du point potentié P et d'un point potentiant quelconque Q, respectivement. Les coordonnées cartésiennes correspondantes de P et Q, c'est-à-dire (x, x, x) et (x', x', x'), s'expriment au moyen des relations , . L'élément de volume en Q est , et la distance entre P et Q est . Comme ρ(Q) ne dépend pas de l'angle λ', l'intégration sur λ' dans l'expression de V(P) peut être remplacée par une intégration sur la différence λ' – λ avec les mêmes limites d'intégration 0 et 2π que pour λ'. De la sorte, la variable λ disparaît de l'intégrale, et

ensemble avec

et .

Principe de symétrie de Pierre Curie

En fait, la symétrie axiale de V aurait pu être déduite de la symétrie axiale de ρ en se servant du principe de symétrie établi par le physicien français Pierre Curie (1859-1906). Ce principe peut s'énoncer de façon concise comme suit :