Les équations fondamentales de la mécanique des milieux continus regroupent les énoncés mathématiques les plus couramment utilisés dans le cadre de la mécanique des milieux continus, principalement applicables à la déformation des solides et à la mécanique des fluides.
Quelques quantités physiques intégrales du système
En général, on étudie les déformations et la dynamique de la Terre en termes d'un modèle de continuum caractérisé par une distribution interne de masse non spécifiée pour le moment, autrement dit par une densitéEn géodésie et en géophysique, le terme densité dénote toujours la densité absolue, c'est-à-dire la masse volumique, et non pas la densité relative, c'est-à-dire le rapport de la masse volumique du milieu à la masse volumique de l'eau. massique , dans un volume délimité par une surface . Dans le problème qui nous occupe, cette frontière n'est pas donnée a priori, mais doit être déterminée en supposant qu'elle correspond à la forme d'équilibre du corps déformable. En outre, nous supposerons pour le moment qu'il existe un champ de vitesse par rapport au système de référence choisi mais non encore spécifié, ainsi qu'une densité de moment cinétique interne , une force volumique , un champ de contraintes (ou champ de tensions) , un moment de force volumique et moment de force surfacique . Toutes ces quantités peuvent être des fonctions explicites ou implicites du temps . Sauf indication différente, nous utiliserons un système de référence cartésien dont l'origine (0, 0, 0) se trouve au point O. Nous dénoterons les coordonnées spatiales par et les dérivées spatiales successives , ... par , ... (avec ). En règle générale, nous adoptons ici la notation indicielle pour les vecteurs et les tenseurs, ainsi que la règle de sommation d'Einstein sur les indices muets répétés.
La masse totale du modèle est
où est un élément de volume.
L'impulsion totale est
et le moment cinétique total est
où est le symbole de Levi-Civita.
La résultante des forces appliquée au volume du corps est
où est un élément de la surface et dénote un vecteur unitaire normal à la surface et pointant hors du volume . De la même, manière, le moment de force résultant appliqué au corps est .
Ces formules sont valables en toute circonstance. Si nous admettons en outre que la surface-frontière de est régulière et que les champs des tensions et des moments de force surfaciques sont différentiables dans , on peut appliquer le théorème de flux-divergence et écrire :
Lois de conservation
Les équations régissant un milieu continu peuvent être déduites, soit en utilisant un « principe de correspondance » pour adapter les lois de la mécanique des points discrets de Newton aux points matériels de la mécanique des milieux continusToutefois, en mécanique des milieux continus des forces internes agissant sur chaque point matériel jouent un rôle essentiel et sont généralement exprimées par la divergence du tenseur des contraintes. Par contre, en mécanique des points de Newton, les forces internes agissant sur un point quelconque se réduisent à un couple de forces opposées de même intensité, et sont donc éliminées des équations., soit en exprimant de façon directe le fait que certains attributs physiques, tels que la masse, l'impulsion, le moment cinétique, l'énergie cinétique, l'énergie interne, l'énergie totale, etc., contenus dans un volume arbitraire se déformant au cours du temps , ne peuvent pas changer de manière arbitraire, mais que leurs changements précis sont régis par des lois de conservation. Ces dernières peuvent s'obtenir en exprimant le taux de changement dans le temps dans un volume arbitraire de matière au moyen du théorème de transport de Reynolds.
Soit une partie quelconque se déformant au cours du temps du volume matériel . On suppose que sa frontière est régulière, et on oriente la normale unitaire en un point quelconque de vers l'extérieur. Pour une quantité physique arbitraire associée à un point matériel appartenant au volume ou à sa frontière , on a alors .
Les notations utilisées ici sont les suivantes : est une quantité physique arbitraire, et la densité volumique du champ correspondant ; les opérateurs et sont les dérivations totales (matérielles) et partielles (locales) par rapport au temps, respectivement ; est la surface régulière fermée qui limite le volume , de normale extérieure unitaire . En utilisant à nouveau le théorème de flux-divergence, il vient .
Si est le taux local de production ou de destruction de la quantité , c'est-à-dire , alors la formule précédente devient
ou, puisque le volume est arbitraire et peut donc être pris arbitrairement petit : .
Ceci est la forme eulérienne générale d'une loi de conservation en physique des milieux continus. La forme lagrangienne équivalente, valable pour chaque point matériel individuel, est .
On déduit cette forme lagrangienne aisément de la forme eulérienne à l'aide de l'identité (voir l'article Concepts de base en théorie des milieux continus) .
Conservation de la masse, ou équation de continuité
Sous forme intégrale, la conservation de la masse s'exprime parOn indique, si nécessaire, qu'une quantité quelconque variable dans l'espace et dans le temps se rapporte à un point spatial (description eulérienne) en mettant explicitement l'argument . Si se rapporte à un point matériel (description lagrangienne), on met explicitement l'argument . .
Cette formule fournit léquation de continuité, exprimant la conservation de la masse sous forme différentielle, en faisant tendre le volume arbitraire tendre vers un point : .
La forme eulérienne de cette dernière équation est .
On remarque qu'il s'agit bien ici d'une forme particulière de la loi de conservation générale , où et . Le fait que indique bien qu'il n'y a ni production ni destruction de masse, laquelle est donc conservée.
Conservation de l'impulsion, ou équation de mouvement
De manière similaire, à peine plus compliquée, on peut établir l'équation de conservation de l'impulsion régissant le mouvement d'un point matériel, en posant et en admettant explicitement que la masse se conserve aussi. On obtient .
En effet, l'équation fondamentale de la dynamique exprime le fait que le taux de variation de l'impulsion est équilibré par la résultante des forces agissant sur le volume. On a donc . Si nous transformons le membre de gauche au moyen du théorème de Reynolds, nous obtenons .
Dès lors, en faisant tendre le volume arbitraire vers zéro, on obtient la forme eulérienne générale de l'équation de mouvement, à savoir .
Il convient de noter que dans cette équation, on ne présuppose aucunément qu'il y ait conservation de masse, mais seulement que le tenseur des contraintes est différentiable. En développant le membre de gauche, on obtient .
Le terme entre crochets dans le membre de gauche représente l'accélération . Le terme entre accolades dans ce même membre de gauche représente simplement l'équation de conservation de la masse sous forme eulérienne. Ainsi donc, si nous supposons que la masse reste conservée — ce qui est pratiquement toujours le cas en géophysique interne — l'équation de conservation de la quantité de mouvement s'écrit .
Conservation du moment cinétique, ou équation de rotation
L'équation exprimant la conservation du moment cinétique, qui est primordiale dans les études traitant de la rotation d'un corps déformable comme la Terre, peut être obtenue de manière semblable à celle exprimant la conservation de l'impulsion. En supposant qu'il y ait conservation de la masse et conservation de la quantité de mouvement, on obtient .
En effet, le taux de variation du moment cinétique dans un volume arbitraire est équilibré par le moment de force résultant agissant sur ce volume. Nous avons donc .
Comme précédemment, on transforme le membre de gauche en appliquant le théorème de Reynolds pour obtenir .
En faisant tendre le volume arbitraire vers zéro, on obtient l'équation exprimant localement la conservation du moment cinétique, à savoir
.
Cette équation peut être réarrangée comme suit :
.
Dans le membre de gauche, les termes entre chevrons représentent la quantité , les termes entre crochets s'annulent si la masse est conservée, et les termes entre accolades s'annulent si à la fois la masse et l'impulsion sont conservées. Dans le membre à droite du signe =, le terme est identiquement nul, puisque est un tenseur symétrique. Admettant que masse et impulsion soient conservées, on obtient donc .
Symétrie du tenseur des contraintes
Si, en outre, nous supposons que le moment cinétique intrinsèque d'un point matériel quelconque ne change pas au cours du mouvement de déformation, autrement dit si , alors le tenseur des contraintes est symétrique : .
Conservation de l'énergie
L'équation exprimant la conservation de l'énergie peut s'obtenir par la même méthode que celle employée pour la masse, la quantité de mouvement et la quantité de rotation. On trouve :
.
Le symbole désigne ici l'énergie interne par unité de volume, est le vecteur densité de flux de chaleur, et est le taux de production ou de destruction intrinsèque d'énergie par unité de volume, par réactions chimiques, par radioactivité, ou par tout autre processus interne. Le symbole représente bien sûr le carré de la vitesse, c'est-à-dire deux fois l'énergie cinétique par unité de masse.
Tableau récapitulatif des principales lois de conservation
Le tableau ci-dessous résume les principales lois de conservation générales, sous forme eulérienne, utiles pour résoudre les problèmes posés par la mécanique des milieux continus, en particulier lorsqu'il s'agit d'étudier les déformations globales de la Terre à la suite d'un séisme, à la suite d'une variation de la longueur du jour, à la suite deà l'application d'un potentiel de marée ou à la suite de l'application d'une distribution de masse sur la surface externe. Les notations employées dans le tableau sont celles de ce texte. Rappelons que l'intégrale est la quantité physique qui se conserve ; elle représente, selon les cas, la masse totale du corps , sa quantité de mouvement totale , son moment cinétique total , ou son énergie totale . La forme eulérienne générale d'une loi de conservation est .
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Hypothèses et lois pour décrire les déformations de la Terre
Dans les problèmes de géodynamique théorique, on considère en général que la résultante des forces externes par unité de volume se compose d'une force gravifique volumique causée par l'autogravitation et par l'attraction gravifique de corps extérieurs, d'une force électromagnétique volumique , de forces volumiques inertielles (Coriolis et axifuge) , de forces de marée , et de forces volumiques causées par des charges extérieures . D'autre part, les forces surfaciques dépendant de l'orientation qui contribuent en général au tenseur des contraintes via les relations de Cauchy sont les forces élastiques qui engendrent un tenseur des contraintes élastiques , les forces superficielles électromagnétiques qui engendrent un tenseur de Maxwell , des forces visqueuses qui engendrent un tenseur de Reynolds un tenseur des contraintes élastiques , des forces de frottement de contact non visqueux qui engendrent un tenseur des forces de friction un tenseur des contraintes élastiques , et de toute autre force surfacique engendrant un tenseur des contraintes un tenseur des contraintes élastiques .